Doppelt-stochastische Matrix

In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und deren Elemente zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

Charakterisierungen

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

• Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

• Eine quadratische Matrix <math>M</math> ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl <math>M</math> als auch die transponierte Matrix <math>M^T</math> Übergangsmatrizen sind.

• Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert <math>1</math>. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor <math>\mathbf{1}</math> (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix <math>M</math> doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch <math>M</math> charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor <math>\tfrac{1}{n}\mathbf{1}</math> (das <math>n</math> bezieht sich auf die Dimension der <math>n\times n</math>-Matrix <math>M</math>).

Satz von Birkhoff und von Neumann

Für eine <math>n \times n</math>-Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

Literatur

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Weblinks

• {{#if: Andrea Ambrosio, Stephen Forrest|Andrea Ambrosio, Stephen Forrest: }}Birkhoff-von Neumann theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Doubly Stochastic Matrix. In: MathWorld (englisch). {{#if: DoublyStochasticMatrix | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | DoublyStochasticMatrix | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}