Doob-Dynkin-Lemma

Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Abbildungen <math>\Omega \rightarrow \R^n</math>. In Anwendungen ist <math>\Omega</math> in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X</math> und <math>Y</math> sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man <math>Y</math> bereits aus <math>X</math> berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> gibt, so dass <math>Y=h\circ X</math>.

Ist nun <math>\mathcal A</math> eine σ-Algebra auf <math>\Omega</math> und ist <math>X</math> <math>\mathcal A</math>-messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> mit <math>Y=h\circ X</math>, dass auch <math>Y</math> <math>\mathcal A</math>-messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man <math>\mathcal A</math> so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

<math>\mathcal A = \sigma(X) := \{X^{-1}(B);\, B\subset \R^n\, \text{Borelmenge} \}</math>,

die sogenannte von <math>X</math> erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen <math>X,Y\colon \Omega \rightarrow \R^n</math> sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es gibt eine Borel-messbare Funktion <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> mit <math>Y = h\circ X</math>.
2. <math>Y</math> ist <math>\sigma(X)</math>-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist <math>Y</math> bezüglich der von <math>X</math> erzeugten σ-Algebra messbar, so kann <math>Y</math> keine Information enthalten, die nicht bereits in <math>X</math> steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen

• A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
• M. M. Rao, R. J. Swift: Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7