Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,z>0\}</math> holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für <math>z \in \mathbb{H} </math> sei <math>\Delta(z):= g_2^3(z)-27g_3^2(z)</math>,

dabei sind <math>g_2(z)=60G_4(z)</math> und <math>g_3(z)=140G_6(z)</math> die Eisensteinreihen zum Gitter <math>\Z z+\Z</math>.

Produktentwicklung

Die Diskriminante <math>\Delta</math> lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

<math>\Delta(z)= (2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})^{24}</math>

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass <math>\Delta</math> in <math>\mathbb{H}</math> keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante <math>\Delta</math> ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist <math>\Delta (z)= (2\pi)^{12} \eta^{24}(z)</math>.

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

<math>\Gamma :=SL_2(\Z)=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\Z, ad-bc=1\}</math> gilt:

<math>\Delta\left(\frac{az +b}{cz +d}\right)= (cz +d)^{12}\Delta(z)</math>.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei <math>z=\infty</math> und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

<math>\Delta(z)=(2\pi )^{12}\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)\,{\mathrm e}^{2\pi inz}</math>.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

<math>\tau(m)\cdot\tau(n) = \tau(m\cdot n)</math> für teilerfremde <math>m,n \in

\N</math>,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

<math>\tau(m) \tau(n) = \sum_{d\,|(m,n)} \!\! d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right)</math>.

Für die ersten Werte der tau-Funktion <math>\tau(n)</math> gilt:<ref name="OEIS" />

<math>\tau(1)=1</math>

<math>\tau(2)=-24</math>

<math>\tau(3)=252</math>.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

<math>\tau(m) \neq 0</math> für alle <math>m \in \N</math> richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen <math>p</math> gilt:

<math>|\tau(p)| \le 2p^{11/2}</math>.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die <math>\tau(n)</math> erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

<math>\tau(n)\equiv \sigma_{11}(n)\mod 691 </math>

mit

<math>\sigma_{11}(n)=\sum_{d\,\mid n}d^{11}</math>

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2

Einzelnachweise

<references> <ref name="OEIS">Folge A000594 in OEIS</ref> </references>