Dirichletscher Approximationssatz
Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.
Der Satz lautet: Zu jedem <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und jedem <math>N \in \N</math> existieren ein <math>q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq N</math> und ein <math>p \in \mathbb{Z}</math>, so dass
- <math>\left| q \alpha - p \right| \le \frac{1}{N+1}.</math>
Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.
Aus dem Satz folgt nach Division durch <math>q</math> und Beachtung von <math>q<N+1</math>, dass es zu jedem reellen <math>\alpha</math> unendlich viele Paare <math>(p,q)</math> ganzer Zahlen gibt, die
- <math>\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}</math>
erfüllen. Für rationale Zahlen <math>\alpha=\tfrac{a}{b}</math> haben fast alle solche Approximationen die Form <math>p=ka,q=kb</math>, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor <math>\sqrt{5}</math>.
Beispiel: Sei <math> \alpha = \sqrt{2}</math> und <math>N=10</math>. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen <math> \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dotsc, 10 \sqrt{2}</math> um höchstens <math>1/11</math> von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist
- <math>\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106\dotso - 7 \right| = 0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso = \frac{1}{11}.</math>
Literatur
- Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.