Dirac-Kamm
Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) bezeichnet eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.
Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.
Definition
Der Dirac-Kamm stellt eine periodische temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distribution Gebrauch macht.
- <math>\Delta_T(t) = \sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t - n T)</math>
für eine Periode <math>T > 0</math>. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand <math>T</math> zueinander stehen.
Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion <math>\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R)</math> gilt
- <math>\Delta_T \phi:=\sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)</math>.
Fourier-Transformation des Dirac-Kamms
Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt
- <math>
\mathcal{F} \{ \Delta_{T} \} =
\frac{1}{T} \, \Delta_{\frac{1}{T}},
</math>
wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention
- <math>\mathcal{F} \{f\}(t) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t x} \,\mathrm{d} x </math>
verwendet wird.
Damit ergibt sich die wichtige Darstellung für Fourierreihen, die als Distributionsgrenzwert zu interpretieren ist:
- <math> \sum_{k \in \mathbb{Z}} \exp(i t k) = 2 \pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(t + 2\pi n)</math>
Für die Einheitsperiode <math> T = 1</math> ergibt sich unmittelbar nach reskalieren der Frequenz aufgrund der Skalierungseigenschaft der Delta-Distribution
- <math> \sum_{k \in \mathbb{Z}} \exp(i 2 \pi k t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(t + n)\,.</math>
Abtastung und Alias-Effekte
Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:
Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.
In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.
Literatur
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