Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von <math>n</math> Vektoren eines <math>n</math>-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum über einem Körper <math>K</math>. Dann heißt eine Funktion <math>f\colon V^n\rightarrow K</math> Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• <math>f</math> ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:

<math>\forall \, i \in\left\{1,\ldots,n\right\}, \; \forall \, a, b \in V\colon f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a+b,v_{i+1},\ldots,v_n\right) = f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots,v_n\right) + f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},b,v_{i+1},\ldots,v_n\right)</math> (Additivität)

<math>\forall \, i \in\left\{1,\ldots,n\right\}, \; \forall \, a \in V, \; \forall \, r \in K\colon f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},r \cdot a,v_{i+1},\dots,v_n\right) = r \cdot f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots,v_n\right)</math> (Homogenität)

• <math>f</math> ist alternierend:

<math>\left(\exists \, r, s \in\left\{1,\ldots,n\right\}, r\ne s\colon v_r=v_s\right)\Rightarrow f\left(v_1,v_2,\ldots,v_n\right)=0</math>

Eigenschaften

• Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation <math>\sigma</math>: <math>f\left(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot f\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)</math>, wobei <math>\mathrm{sgn}</math> das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind <math>v_1, v_2, \dots, v_n \in V</math> linear abhängig, so gilt <math>f(v_1, v_2, \dots, v_n) = 0</math>. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. <math>f \not \equiv 0 </math>) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind <math>f,g : V^n \rightarrow K</math> zwei Determinantenfunktionen und <math>f \not \equiv 0</math>, dann gibt es ein <math>a \in K</math> so, dass <math>g(v_1, v_2, \dots, v_n) = a \cdot f(v_1, v_2, \dots, v_n) \; \forall \, v_1, v_2, \dots, v_n \in V</math>. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
• <math>V = \mathbb{R}^n</math>, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
• S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2