Dedekindsche Psi-Funktion
Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch
- <math>\forall\ n\in\Z^{+}\colon \psi(n)=n\cdot\prod_{p|n \atop p\in\mathbb P}\left(1+\frac1p\right)</math>
definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von <math>n.</math>
Werte
Nach Definition des leeren Produkts ist
- <math>\psi(1)=1.</math>
Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:
- <math>\psi(2)=2\left(1+\frac12\right)=3</math>
- <math>\psi(3)=3\left(1+\frac13\right)=4</math>
Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….<ref>Folge A001615 in OEIS</ref>
Eigenschaften
- Die <math>\psi</math>-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen <math>n</math> ist <math>\psi(n)</math> größer als <math>n</math> und gerade:
- <math>\psi(n)>n \qquad\qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\, n>1</math>
- <math>\psi(n)\equiv 0\mod 2\; \qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\,n>2</math>
- Für Primzahlen <math>p</math> gilt:
- <math>\psi(p)=p+1=\varphi(p)+2</math>
- Dabei ist <math>\varphi</math> die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl <math>n</math> die Anzahl <math>\varphi(n)</math> der zu <math>n</math> teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als <math>n</math> sind.
- Die <math>\psi</math>-Funktion kann auch durch
- <math>\psi(p^k)=(p+1)\cdot p^{k-1}</math>
- für Potenzen von Primzahlen <math>p</math> mit positiven natürlichen Hochzahlen <math>k</math> und der Festlegung, dass <math>\psi</math> multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert <math>\psi(n)</math> für ein beliebiges <math>n</math> ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von <math>n.</math>
- Mit der Riemannschen Zeta-Funktion <math>\zeta</math> gilt:
- <math>\sum_n \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-1)}{\zeta(2s)}</math>
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Dedekind Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.
Quellen
<references />