Notice: Unexpected clearActionName after getActionName already called in /var/www/html/includes/context/RequestContext.php on line 338 Überlagerung (Topologie) – WikipediaZum Inhalt springen
Die Überlagerung eines topologischen Raums <math>X</math> ist eine stetige Abbildung <math>\pi\colon E \rightarrow X</math> mit speziellen Eigenschaften.
Definition
Datei:Covering space diagram.svgAnschaulich kann man sich eine Überlagerung so vorstellen, dass man den Überlagerungsraum auf dem Ausgangsraum drauflegt.
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von <math>X</math> ist eine stetige surjektive Abbildung
<math>\pi \colon E \rightarrow X</math>,
sodass es einen diskreten Raum <math>D</math> gibt und für jedes <math>x \in X </math> eine offene Umgebung <math>U \subset X</math> gibt, sodass
und die Abbildung <math>\pi|_{V_d} \colon V_d \rightarrow U </math> für jedes <math>d \in D </math> ein Homöomorphismus ist.
Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum <math>E</math> benutzt. Die offenen Mengen <math>V_{d}</math> werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung <math>U</math> ist zusammenhängend, eindeutig durch <math>U</math> bestimmt.<ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> <math>^{S.56}</math> Für ein <math>x \in U</math> heißt die diskrete Teilmenge <math>\pi^{-1}(x)</math> die Faser von <math>x</math>. Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes <math>D </math>. Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist <math>E</math> wegzusammenhängend, so wird <math>\pi</math> als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.
Beispiele
Für jeden topologischen Raum <math>X</math> existiert die triviale Überlagerung <math>\pi\colon X \rightarrow X</math> mit <math>\pi(x)=x</math>.
Datei:Covering map.svgDer Raum <math>Y = [0,1] \times \mathbb{R}</math> ist eine Überlagerung von <math>X = [0,1] \times S^1</math>, die paarweise disjunkten Mengen <math>S_i</math> werden homöomorph auf <math>U</math> abgebildet. Die Faser des Punktes <math>x</math> besteht aus den Punkten <math>y_i</math>.
Die Abbildung <math>r \colon \mathbb{R} \to S^1</math> mit <math>r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))</math> ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises <math>S^1</math> in <math>\mathbb{R}^2</math>. Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung <math>U</math> eines <math>x \in S^1</math> mit positivem <math>\cos(2 \pi t)</math>-Wert: <math>r^{-1}(U) \subset \displaystyle\bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} ( n - \tfrac 1 4, n + \tfrac 1 4)</math>.
Für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ist die Abbildung <math>q \colon S^1 \to S^1</math> mit <math>q(z)=z^{n}</math> eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung <math>U</math> eines <math>z \in S^1</math> gilt: <math>q^{-1}(U)=\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^{n} U</math>.
Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung <math>p \colon \mathbb{R_{+}} \to S^1</math> mit <math>p(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))</math>. Hierbei wird ein Blatt von <math>p^{-1}(U)</math>, wobei <math>U</math> eine offene Umgebung von <math>(1,0)</math> ist, nicht homöomorph unter <math>p</math> auf <math>U</math> abgebildet.
Eigenschaften
Lokaler Homöomorphismus
Da eine Überlagerung <math>\pi\colon E \rightarrow X</math> die paarweise disjunkten, offenen Mengen von <math>\pi^{-1}(U)</math> jeweils homöomorph auf die offene Menge <math>U</math> abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. <math>\pi</math> ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes <math>e \in E</math> eine offene Umgebung <math>V \subset E</math> existiert, sodass <math>\pi|_V \colon V \rightarrow \pi(V)</math> ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:
Ist <math>X</math> eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung <math>\pi\colon \tilde X \rightarrow X</math>, wobei <math>\tilde X</math> eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist.<ref name=":1" /> <math>^{S.234}</math>
Ist <math>X</math> eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus <math>\pi\colon \tilde X \rightarrow X</math>, mit <math>\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ ist ein Weg in X mit }\gamma(0)= \boldsymbol{1_X}\}/\text{ Homotopie mit festen Enden}</math>, der gleichzeitig eine Überlagerung ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> <math>^{S.174}</math>
Ist <math>X</math> ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung <math>\pi:E \rightarrow X</math>, dass <math>E</math> auch ein Graph ist.<ref name=":1" /> <math>^{S.85}</math>
Ist <math>X</math> eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung <math>\pi\colon \tilde X \rightarrow X</math>, wobei <math>\tilde X</math> eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängendeMannigfaltigkeit ist.<ref name=":3">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> <math>^{S.32}</math>
Ist <math>X</math> eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung<ref name=":3" /> <math>^{S.22}</math> <math>\pi:\tilde X \rightarrow X</math>, welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und <math>\tilde X</math> ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche.<ref name=":3" /> <math>^{S.32}</math>
Produkt von Überlagerungen
Seien <math>X</math> und <math>X'</math> topologische Räume und <math>p\colon E \rightarrow X</math> und <math>p'\colon E' \rightarrow X'</math> Überlagerungen, dann ist <math>p \times p':E \times E' \rightarrow X \times X'</math> mit <math>(p \times p')(e, e') = (p(e), p'(e'))</math> eine Überlagerung von <math>X \times X'</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Faktorisierung
Seien <math>p,q</math> und <math>r</math> stetige Abbildung, sodass das Diagram
Sind <math>p</math> und <math>q</math> Überlagerung, so auch <math>r</math>.<ref name="Munkres485">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Sind <math>p</math> und <math>r</math> Überlagerung, so auch <math>q</math>.<ref name="Munkres485" />
Äquivalenz von Überlagerungen
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> und <math>p'\colon E'\rightarrow X</math> Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus <math>h\colon E \rightarrow E'</math> gibt, sodass das Diagramm
kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.
Hochhebungseigenschaft
Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:
Sei <math>I</math> das Einheitsintervall <math>[0,1]</math> und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine zusammenhängende Überlagerung. Sei <math>F\colon Y \times I \rightarrow X</math> eine stetige Abbildung und <math>\tilde F\colon Y \times \{0\} \rightarrow E</math> ein Lift von <math>F|_{Y \times \{0\}}</math>, i.e. eine stetige Abbildung, sodass <math>p \circ \tilde F = F|_{Y \times \{0\}}</math>, dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung <math>\tilde F\colon Y \times I \rightarrow E</math>, welche <math>F</math> hochhebt (liftet), i. e. <math>p \circ \tilde F = F</math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.60}</math>
Ist <math>X</math> ein wegzusammenhängender Raum, so ist für <math>Y = \{0\}</math> die Abbildung <math>\tilde F</math> die Hochhebung eines Weges in <math>X</math> und für <math>Y = I</math> die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in <math>X</math>.
Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe <math>\pi_{1}(S^1)</math> des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife <math>\gamma\colon I \rightarrow S^1</math> mit <math>\gamma (t) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))</math> erzeugt wird.<ref name=":1" /> <math>^{S.29}</math>
Ist <math>X</math> ein wegzusammenhängender Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte <math>x,y \in X</math>, die durch einen Weg <math>\gamma</math> verbunden sind, dass man durch die Hochhebung <math>\tilde\gamma</math> von <math>\gamma</math> eine bijektive Abbildung
zwischen den Fasern von <math>x</math> und <math>y</math> erhält.<ref name=":1" /> <math>^{S.69}</math>
Ist <math>X</math> ein wegzusammenhängender Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch <math>p</math> induzierte Gruppenhomomorphismus
<math> p_{\#}\colon \pi_{1}(E) \rightarrow \pi_{1}(X)</math> mit <math> p_{\#}([\gamma])=[p \circ \gamma]</math>
injektiv. Die Elemente der Untergruppe <math>p_{\#}(\pi_1(E))</math> sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in <math>X</math>, deren Hochhebung geschlossene Wege in <math>E</math> sind.<ref name=":1" /> <math>^{S.61}</math>
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Definitionen
Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und <math>f\colon X \rightarrow Y</math> eine stetige Abbildung. Die Abbildung <math>f</math> ist holomorphin einem Punkt <math>x \in X</math>, wenn für jede Karte <math>\phi _x:U_1 \rightarrow V_1</math> von <math>x</math> und <math>\phi_{f(x)}\colon U_2 \rightarrow V_2</math> von <math>f(x)</math>, mit <math>\phi_x(U_1) \subset U_2</math>, die Abbildung <math>\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math> holomorph ist.
<math>f</math> ist holomorph, wenn <math>f</math> auf ganz <math>X</math> holomorph ist.
Die Funktion <math>F=\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x</math> heißt die lokale Darstellung von <math>f</math> in <math>x \in X</math>.
Ist <math>f\colon X \rightarrow Y</math> eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist <math>f</math> surjektiv<ref name=":3" /> <math>^{S.11}</math> und eine offene Abbildung<ref name=":3" /> <math>^{S.11}</math>, d. h. für jede offene Menge <math>U \subset X</math> ist das Bild <math>f(U)</math> ebenfalls offen.
Verzweigungspunkt
Sei <math>f\colon X \rightarrow Y</math> eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes <math>x \in X</math> gibt es Karten für <math>x</math> und <math>f(x)</math> und es existiert ein <math>k_x \in \mathbb{N_{>0}}</math>, sodass die lokale Darstellung von <math>f</math> in <math>x</math> von der Form <math>z \mapsto z^{k_{x}}</math> ist.<ref name=":3" /> <math>^{S.10}</math> Dieses <math>k_x \in \mathbb{N}</math> wird als Verzweigungsindex von <math>f</math> in <math>x</math> bezeichnet. Ein Punkt <math>y=f(x) \in Y</math> heißt Verzweigungspunkt von <math>f</math>, wenn <math>k_x \geq 2</math>.
Grad einer holomorphen Abbildung
Der Grad <math>deg(f)</math> einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung <math>f\colon X \rightarrow Y</math> zwischen kompaktenRiemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes <math>y \in Y</math>, i. e. <math>deg(f):=|f^{-1}(y)|</math>.
Diese Zahl ist endlich, da für jedes <math>y \in Y</math> die Faser <math>f^{-1}(y)</math> diskret ist<ref name=":3" /> <math>^{S.20}</math> und sie ist wohldefiniert, da für je zwei <math>y_1, y_2 \in Y</math>, welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: <math>|f^{-1}(y_1)|=|f^{-1}(y_2)|</math>.<ref name=":3" /> <math>^{S.29}</math>
Eine stetige Abbildung <math>f\colon X \rightarrow Y</math> wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge <math>E \subset Y</math> mit dichtemKomplement gibt, sodass <math>f_{|X \smallsetminus f^{-1}(E)}\colon X \smallsetminus f^{-1}(E) \rightarrow Y \smallsetminus E</math> eine Überlagerung ist.
Beispiele
Sei <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>n \geq 2</math>, dann ist <math>f\colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^n</math> ist eine <math>n</math>-fache verzweigte Überlagerung von <math>\mathbb{C}</math>, wobei <math>z=0</math> ein Verzweigungspunkt ist.
Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung <math>f\colon X \rightarrow Y</math> zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad <math>d</math> ist eine verzweigte <math>d</math>-fache Überlagerung.
Universelle Überlagerung
Sei <math>p\colon \tilde X \rightarrow X</math> eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und <math>\beta\colon E \rightarrow X</math> eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung <math>\alpha\colon \tilde X \rightarrow E</math>, sodass das Diagramm
Sei <math>p\colon \tilde X \rightarrow X</math> eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist <math>\beta \colon E \rightarrow X</math> eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von <math>X</math>, dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus <math>\alpha \colon \tilde X \rightarrow E</math>, der das Diagramm
kommutieren lässt.<ref name="Munkres482">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Damit ist <math>p</math> bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von <math>X</math> genannt.
Existenz
Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:
Sei <math>X</math> zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung <math>p\colon \tilde X \rightarrow X</math>.
<math>\tilde X</math> ist definiert als <math>\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ ist ein Weg in }X \text{ mit }\gamma(0) = x_0\}/\text{ Homotopie mit festen Enden}</math> und <math>p\colon \tilde X \rightarrow X</math> als <math>p([\gamma])=\gamma(1)</math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.64}</math>
Die Topologie auf <math>\tilde X</math> erhält man wie folgt: Für ein Weg <math>\gamma\colon I \rightarrow X</math> mit <math>\gamma(0)=x_0</math> besitzt der Endpunkt <math>x</math> eine einfach-zusammenhängende Umgebung <math>U</math>, in der für jedes <math>y \in U</math> die Wege <math>\sigma_y</math> in <math>U</math> von <math>x</math> nach <math>y</math> bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man <math>\tilde U:=\{\gamma.\sigma_y:y \in U \}/\text{ Homotopie mit festen Enden}</math>, so ist <math>p_{|\tilde U}\colon \tilde U \rightarrow U</math> mit <math>p([\gamma.\sigma_y])=\gamma.\sigma_y(1)=y</math> eine Bijektion und <math>\tilde U</math> kann mit der Finaltopologie von <math>p_{|\tilde U}</math> versehen werden.
Die Fundamentalgruppe <math>\pi_{1}(X,x_0) = \Gamma</math> operiert durch <math>([\gamma],[\tilde x]) \mapsto [\gamma.\tilde x]</math> frei auf <math>\tilde X</math> und <math>\psi\colon \Gamma \backslash \tilde X \rightarrow X\colon \Gamma \tilde x \mapsto \tilde x(1)</math> ist ein Homöomorphismus, i. e. <math>\Gamma \backslash \tilde X \cong X. </math>
Beispiele
<math>r \colon \mathbb{R} \to S^1</math> mit <math>r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))</math> ist die universelle Überlagerung der <math>S^1</math>.
Sei <math>n \in \N</math>. Die Abbildung <math>p \colon S^n \to \mathbb{R}P^n \cong \{+1,-1\}\backslash S^n</math> mit <math>p(x)=[x]</math> ist für <math>n>1</math> die universelle Überlagerung des projektiven Raumes <math>\mathbb{R}P^n</math> .
<math>q \colon SU(n) \ltimes \mathbb{R} \to U(n)</math> mit <math>q(A,t)= \begin{bmatrix}
\exp(2 \pi i t) & 0\\
0 & I_{n-1}
\end{bmatrix} A</math> ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe <math>U(n)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Weil <math>SU(2) \cong S^3</math>, ist die Abbildung <math>f\colon SU(2) \rightarrow \mathbb{Z_2} \backslash SU(2) \cong SO(3)</math> die universelle Überlagerung der <math>SO(3)</math>.Datei:Hawaiian Earrings.svg
Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring
<math>X=\bigcup_{n\in \N}\left\{(x_1,x_2)\in\R^{2} : \Bigl(x_1-\frac{1}{n}\Bigr)^2+x_2^2=\frac{1}{n^2}\right\}</math>. Hierbei handelt es sich um eine abzählbareVereinigung von Kreisen <math>C_n</math> mit Radius <math>\displaystyle \frac 1 n</math>, welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Decktransformation
Definition
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus <math>d\colon E \rightarrow E</math>, sodass das Diagramm
kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe <math>Deck(p)</math>, welche gleich der Automorphismengruppe <math>Aut(p)</math> ist.
Beispiele
Sei <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>q \colon S^1 \to S^1 </math> die Überlagerung <math>q(z)=z^{n}</math>, dann ist die Abbildung <math>d\colon S^1 \rightarrow S^1: z \mapsto z \, e^{2\pi i/n}</math> eine Decktransformation und <math>Deck(q)\cong \mathbb{Z/nZ}</math>.
Sei <math>r \colon \mathbb{R} \to S^1</math> die Überlagerung <math>r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))</math>, dann ist die Abbildung <math>d_k\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}:t \mapsto t+k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math> eine Decktransformation und <math>Deck(r)\cong \mathbb{Z}</math>.
Eigenschaften
Sei <math>X</math> ein wegzusammenhängender Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation <math>d\colon E \rightarrow E</math> bijektiv ist, wird jedes Element einer Faser <math>p^{-1}(x)</math> permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. <math>id_E</math>, einen Punkt in der Faser.<ref name=":1" /> <math>^{S.70}</math> Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung <math>U \subset X</math> eines <math>x \in X</math> und eine offene Umgebung <math>\tilde U \subset E</math> eines <math>e \in p^{-1}(x)</math> gilt: <math>Deck(p) \times E \rightarrow E: (d,\tilde U)\mapsto d(\tilde U)</math> ist eine Gruppenoperation.
Normale Überlagerungen
Definition
Eine Überlagerung <math>p\colon E \rightarrow X</math> heißt normal, wenn <math>Deck(p) \backslash E \cong X</math>. Das bedeutet, dass es für jedes <math>x \in X</math> und für je zwei <math>e_0,e_1 \in p^{-1}(x)</math> eine Decktransformation <math>d\colon E \rightarrow E</math> gibt, sodass <math>d(e_0)=e_1</math>. Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.
Eigenschaften
Sei <math>X </math> ein wegzusammenhängender Raum und <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine zusammenhängende Überlagerung. Sei <math>H=p_{\#}(\pi_1(E))</math> eine Untergruppe von <math>\pi_1(X)</math>, dann ist die Überlagerung <math>p</math> genau dann normal, wenn <math>H</math> eine normale Untergruppe von <math>\pi_1(X)</math> ist.<ref name=":1" /> <math>^{S.71}</math>
Sei <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine normale Überlagerung und <math>H=p_{\#}(\pi_1(E))</math>, dann ist <math>Deck(p) \cong \pi_1(X)/H </math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.71}</math>
Sei <math>p\colon E \rightarrow X</math> eine wegzusammenhängende Überlagerung und <math>H=p_{\#}(\pi_1(E))</math>, dann ist <math>Deck(p)</math> <math>\cong</math> <math>N(H)/H</math>, wobei <math>N(H)</math> der Normalisator von <math>H</math> ist.<ref name=":1" /> <math>^{S.71}</math>
Sei <math>E</math> ein topologischer Raum. Eine Gruppe <math>\Gamma</math> operiert diskontinuierlich auf <math>E</math>, wenn es für jedes <math>e \in E</math> eine offene Umgebung <math>V \subset E</math> von <math>e</math> mit <math>V \neq \empty</math> gibt, so dass für jedes <math>\gamma \in \Gamma</math> mit <math>\gamma V \cap V \neq \empty</math> folgt, dass <math>\gamma = 1</math>.
Operiert nun eine Gruppe <math>\Gamma</math> diskontinuierlich auf einem topologischen Raum <math>E</math>, so ist die Quotientenabbildung <math>q\colon E \rightarrow \Gamma \backslash E </math> mit <math>q(e)=\Gamma e</math> eine normale Überlagerung.<ref name=":1" /> <math>^{S.72}</math> Dabei ist <math>\Gamma \backslash E = \{\Gamma e: e \in E\}</math> der Quotientenraum und <math>\Gamma e = \{\gamma(e):\gamma \in \Gamma\}</math> die Bahn der Gruppenoperation.
Beispiele
Die Überlagerung <math>q \colon S^1 \to S^1 </math> mit <math>q(z)=z^{n}</math> ist eine normale Überlagerung für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>.
Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.
Berechnung von Decktransformationsgruppen
Sei <math>\Gamma</math> eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum <math>E</math> operiert und <math>q\colon E \rightarrow \Gamma \backslash E </math> die normale Überlagerung.
Ist <math>E</math> wegzusammenhängend, so gilt <math>Deck(q) \cong \Gamma</math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.72}</math>
Ist <math>E</math> einfach-zusammenhängend, so gilt <math>Deck(q)\cong \pi_1(X)</math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.71}</math>
Beispiele
Sei <math>n \in \mathbb{N}</math>. Die antipodale Abbildung <math>g\colon S^n \rightarrow S^n, g(x)=-x</math> generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe <math>D(g) \cong \mathbb{Z/2Z}</math> und induziert eine diskontinuierliche Operation <math>D(g) \times S^n \rightarrow S^n, (g,x)\mapsto g(x)</math>. Hierbei gilt für den Quotientenraum <math>\mathbb{Z_2} \backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n</math>. Damit ist <math>q \colon S^n \rightarrow \mathbb{Z_2}\backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n</math> eine normale Überlagerung und für <math>n > 1</math> die universelle Überlagerung und damit <math>Deck(q)\cong \mathbb{Z/2Z}\cong \pi_1({\mathbb{R}P^n})</math> für <math>n > 1</math>.
Sei <math>SO(3)</math> die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung <math>f\colon SU(2) \rightarrow SO(3) \cong \mathbb{Z_2} \backslash SU(2)</math> eine normale Überlagerung und weil <math>SU(2) \cong S^3</math> ist sie die universelle Überlagerung der <math>SO(3)</math>, weshalb gilt: <math>Deck(f) \cong \mathbb{Z/2Z} \cong \pi_1(SO(3))</math>.
Durch die diskontinuierliche Operation <math>(z_1,z_2)*(x,y)=(z_1+(-1)^{z_2}x,z_2+y)</math> von <math>\mathbb{Z^2}</math> auf <math>\mathbb{R^2}</math>, wobei ist <math>(\mathbb{Z^2},*)</math> das semidirekte Produkt <math>\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} </math> ist, erhält man die universelle Überlagerung <math>f\colon \mathbb{R^2} \rightarrow (\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}) \backslash \mathbb{R^2} \cong K </math> der Kleinschen Flasche <math>K</math> und damit <math>Deck(f) \cong \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} \cong \pi_1(K)</math>.
Sei der Torus <math>T = S^1 \times S^1</math> eingebettet in <math>\mathbb{C^2}</math>. Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus <math>\alpha\colon T \rightarrow T: (e^{ix},e^{iy}) \mapsto (e^{i(x+\pi)},e^{-iy})</math> induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation <math>G_{\alpha} \times T \rightarrow T</math>, wobei <math>G_{\alpha} \cong \mathbb{Z/2Z}</math>. Damit folgt, dass die Abbildung <math>f\colon T \rightarrow G_{\alpha} \backslash T \cong K</math> eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche <math>K</math> ist und damit <math>Deck(f) \cong \mathbb{Z/2Z}</math>.
Sei <math>S^3</math> in <math>\mathbb{C^2}</math> eingebettet. Da die Operation <math>S^3 \times \mathbb{Z/pZ} \rightarrow S^3: ((z_1,z_2),[k]) \mapsto (e^{2 \pi i k/p}z_1,e^{2 \pi i k q/p}z_2)</math> diskontinuierlich ist, wobei <math>p,q \in \mathbb{N}</math> teilerfremd sind, ist die Abbildung <math>f\colon S^3 \rightarrow \mathbb{Z_p} \backslash S^3 =: L_{p,q}</math> eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit <math>Deck(f) \cong \mathbb{Z/pZ} \cong \pi_1(L_{p,q})</math>.
Galois-Korrespondenz
Sei <math>X</math> ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe <math>H\subseteq \pi_1(X)</math> eine wegzusammenhängende Überlagerung <math>\alpha\colon X_H \rightarrow X</math> mit <math>\alpha_{\#}(\pi_1(X_H))=H</math>.<ref name=":1" /> <math>^{S.66}</math> Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen <math>p_1\colon E \rightarrow X</math> und <math>p_2\colon E' \rightarrow X</math> sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen <math>H = p_{1\#}(\pi_1(E))</math> und <math>H'=p_{2\#}(\pi_1(E'))</math> von <math>\pi_1(X)</math> konjugiert zueinander sind.<ref name="Munkres482" />
Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:
Sei <math>X</math> ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:
<math>
\begin{matrix}
\qquad \displaystyle \{\text{Untergruppen von }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{wegzusammenhaengende Überlagerung } p\colon E \rightarrow X\}
\\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\
p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p \\
\displaystyle \{\text{normale Untergruppen von }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{normale Überlagerung } p\colon E \rightarrow X\}
\\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\
p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p
\end{matrix}
</math>
Für eine aufsteigende Sequenz <math>
\displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X)
</math> von Untergruppen, ist die Sequenz <math>
\tilde X \longrightarrow X_H \cong H \backslash \tilde X \longrightarrow X_G \cong G \backslash \tilde X \longrightarrow X\cong \pi_1(X) \backslash \tilde X
</math>
eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe <math>
H \subset \pi_1(X)
</math> vom Index <math>
\displaystyle[\pi_1(X):H] = d
</math> ist die Überlagerung <math>
\alpha:X_H \rightarrow X
</math> eine <math>
d
</math>-fache Überlagerung.
Klassifikation
Definitionen
Kategorie von Überlagerungen
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie <math>\boldsymbol{Cov(X)}</math> sind Überlagerungen <math>p\colon E \rightarrow X</math> und die Morphismen sind stetige Abbildungen <math>f\colon E \rightarrow F</math>, die das Diagramm
kommutieren lassen, wobei <math>p\colon E \rightarrow X</math> und <math>q\colon F \rightarrow X</math> Überlagerungen sind.
G-Menge
Sei <math>G</math> eine topologische Gruppe. Die Kategorie <math>\boldsymbol{G-Menge}</math> ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung <math>\phi\colon X \rightarrow Y</math> zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes <math>g \in G</math>, die Bedingung <math>\phi(gx)=g \, \phi(x)</math>.
Äquivalenz dieser Kategorien
Sei <math>X</math> ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, <math>x \in X</math> und <math>G = \pi_1(X,x)</math> die Fundamentalgruppe von <math>X</math>. <math>G</math> definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor <math>F\colon Cov(X) \longrightarrow G-Menge: p \mapsto p^{-1}(x)</math>, der eine Äquivalenz von Kategorien ist.<ref name=":1" /> <math>^{S.68-70}</math>
Literatur
Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X.
Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9.
James Munkres: Topology. Pearson, New York, NY, 2018, ISBN 978-0-13-468951-7.
Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7.
Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999
