Danielewski-Fläche
In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes <math>\Complex^2</math> dar und hat aus Sicht der komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie <math>\Complex^2</math>.
Definition
Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche <math>S \subset \Complex^3</math>, die als Nullstellenmenge eines Polynoms <math>x^n \cdot y - p(z) \in \Complex[x,y,z]</math> definiert ist, wobei <math>p \in \Complex[z]</math> ein Polynom in einer Variablen ist.
Elementare Eigenschaften
- Im Spezialfall <math>n = 1, \; p(z) = z</math> ist <math>S = \left\{(x,y,z) \in \Complex^3 : x \cdot y = z \right\}</math> isomorph zu <math>\Complex^2</math>.
- Genau dann, wenn das Polynom <math>p</math> nur einfache Nullstellen hat, ist <math>S</math> nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
- Sei <math>p(z) = (z-a_1)\cdot(z-a_2)\cdots(z-a_m)</math> mit paarweise verschiedenen <math>a_i, a_j</math>. Dann gilt:
- <math>S = \left\{ (x,p(z)/x^n,z) \in \Complex^3, x \neq 0 \right\} \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_1 \right\} \dot{\cup} \dots \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_m \right\}</math>
- d. h. <math>S</math> besteht im Prinzip aus <math>\Complex^* \times \Complex</math> und <math>m</math> Kopien von <math>\Complex</math>, die daran angeklebt sind.
Automorphismengruppe
Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall <math>\Complex^2</math>, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von <math>\Complex^2</math> lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.