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Strömungswiderstandskoeffizient – Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie Zum Inhalt springen

Strömungswiderstandskoeffizient

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Cw-Wert)

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Vorlage:Infobox Physikalische Kennzahl Der Strömungswiderstandskoeffizient, Widerstandsbeiwert, Widerstandskoeffizient, Stirnwiderstand oder cw-Wert (nach dem üblichen Formelzeichen <math>c_{\mathrm w}</math>) ist ein dimensionsloses Maß (Koeffizient) für den Strömungswiderstand eines von einem Fluid umströmten Körpers.

Umgangssprachlich ausgedrückt ist der <math>c_\mathrm w</math>-Wert ein Maß für die „Windschlüpfigkeit“ eines Körpers. Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten lässt sich bei bekannter Geschwindigkeit, Stirn- oder bei Flügeln Flügelfläche und Dichte des Fluids (zum Beispiel der durchquerten Luft) die Kraft des Strömungswiderstands berechnen. {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}

Definition

Der Strömungswiderstandskoeffizient ist definiert durch:

<math>c_\mathrm w = \frac{F_\mathrm w}{q \, A} = \frac{2 F_\mathrm w}{\rho \, v^2 A}</math>

Hierbei wird die Widerstandskraft <math>F_\mathrm w</math> auf den Staudruck <math>q = \frac{\rho} 2 v^2</math> der Anströmung und eine Referenzfläche <math>A</math> normiert mit

  • der Dichte <math>\rho</math>
  • der Geschwindigkeit <math>v</math> der ungestörten Anströmung.

Die Referenzfläche <math>A</math> ist definitionsabhängig:

  • bei Fahrzeugen ist die Referenzfläche gleich der Stirnfläche<ref>Ludwig Prandtl: Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1. Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 {{#if: 8Z7r7OBmVAMC

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  • in der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Auftriebsfläche, also die Flügelfläche, als Referenz herangezogen.

Das Formelzeichen <math>c_\mathrm w</math> (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der Drag Coefficient als <math>c_\mathrm d</math> oder <math>c_\mathrm x</math> notiert.

Das Produkt aus Strömungswiderstandskoeffizient <math>c_\mathrm w</math> und Referenzfläche <math>A</math> wird als Widerstandsfläche bezeichnet (siehe Abschnitt Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen).<ref name="Hucho2005" />

Abhängigkeiten

Bei inkompressibler Strömung

Datei:Kugel-Reynolds.png
Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl: cw=f(Re). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser d; die Bezugsfläche A ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser d.

Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung<ref group="A">Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer Mach-Zahl von 0,3 im Allgemeinen der Fall.</ref> der Strömungswiderstandskoeffizient von der Reynolds-Zahl <math>\mathit{Re}</math> abhängt:

<math>c_\mathrm w = f(\mathit{Re})</math>

mit

  • <math>\mathit{Re} = \frac{v L \rho}{\eta}</math>
    • der charakteristische Länge <math>L</math>, deren Quadrat <math>L^2</math> in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche <math>A</math> steht
    • der Viskosität (Zähigkeit) <math>\eta</math> des Fluids.

Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängt von der Anströmgeschwindigkeit, der Dichte, der Viskosität und einer charakteristischen Länge des Körpers:

<math>F_\mathrm w = f(v, \, \rho, \, \eta, \, L)</math>

Mittels einer Dimensionsanalyse nach dem Buckinghamschen Π-Theorem lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient und Reynoldszahl ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben.<ref>Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.</ref> Dies ermöglicht eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform.

Bei kompressibler Strömung

Datei:Dragmachschem.svg
cw in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit

Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte (<math>\rho \neq \mathrm{konst.}</math>), ist der Strömungswiderstandskoeffizient auch von der Mach-Zahl abhängig (vgl. Abb.):

Oberhalb der kritischen Machzahl überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der Widerstandsdivergenzmachzahl steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers; in der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.

Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z. B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.

Der Widerstandsbeiwert bestimmt für Satelliten ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150 km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie molekulare Strömung approximiert wird. In diesem Bereich liegt der cw-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000 km vernachlässigbar.

Ermittlung

Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft <math>F_\mathrm w</math> und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet.

Daneben kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch ermittelt werden, indem die Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche integriert wird.

Anwendung

Bestimmung der Antriebsleistung:

Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft wie folgt berechnet:

<math>F_\mathrm w = \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^2}2</math>

Der Strömungswiderstand ist somit jeweils proportional

  • zur Dichte des strömenden Fluids (vergleiche Luftdichte)
  • zum Strömungswiderstandskoeffizienten
  • zur Referenzfläche (projizierten Frontfläche)
  • zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit.

Die erforderliche Antriebsleistung ist sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit:

<math>\begin{align}

P &= \vec F \cdot \vec v\\ 

 &= \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^2}2 \cdot v\\
 &= \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^3}2

\end{align}</math>

Daher hat bei Kraftfahrzeugen neben dem Strömungswiderstandskoeffizient (d. h. der Körperform) und der Stirnfläche die Wahl der Geschwindigkeit besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.

Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen ballistischen Kurve von der idealisierten Wurfparabel.

Anwendung des Strömungswiderstandskoeffizienten beim freien Fall eines Objekts:

Der Verlauf von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit wird folgendermaßen bestimmt:

Formel für den Strömungswiderstand:

<math>F_\text{Wid}(t) = c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,v(t)^2/2</math>

Formel für die Gewichtskraft des Objekts:

<math>F_\text{Gew}(t) = m_\text{Obj}\,g</math>

Formel für die Beschleunigung:

<math>a(t) = [F_\text{Gew} - F_\text{Wid}(t)]/m_\text{Obj}</math>

Differentialgleichung:

<math>a(t) = \frac{d}{dt}v(t) = g - \frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}{2\,m_\text{Obj}}\,v(t)^2 </math>

Lösung der Differentialgleichung:

<math>v(t) = \sqrt{\frac{2\,m_\text{Obj}\,g}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\tanh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right) </math>
<math>a(t) = g\,\operatorname{sech}\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right)^2 </math>
<math>s(t) = \int_0^t v(t') dt' = {\frac{2\,m_\text{Obj}}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right)\right] </math>

Beispiele

cw-Werte von typischen Körperformen

Wert Form
2,3 Halbrohr lang, konkave Seite
2,0 lange Rechteckplatte
1,33 Halbkugelschale, konkave Seite, Fallschirm
1,2 Halbrohr lang, konvexe Seite
1,2 langer Zylinder, Draht (Re < 1,9 · 105)
1,11 runde Scheibe, quadratische Platte
0,78 Mensch, stehend<ref>Fall mit Luftwiderstand, dieter-heidorn.de, Material zu Kursen am Hansa-Kolleg, abrufbar 30. Mai 2018.</ref>
0,6 Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche !)
0,53…0,69 Fahrrad (Mountainbike, gestreckt/aufrecht)<ref name="ltam-zus"><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20141006172412 * Vorlage:Webarchiv/Wartung/Stern{{#if: Forschungsprojekt: Der Luftwiderstand beim Fahrradfahren | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Forschungsprojekt: Der Luftwiderstand beim Fahrradfahren}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf}} }} (Archivversionen) 20141006172412}} {{#if: }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/DatumDer Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein! {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Forschungsprojekt: Der Luftwiderstand beim Fahrradfahren}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf}} }}] {{#ifeq: | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20141006172412}} im Internet Archive{{#if: PDF | ; PDF }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }} 
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0,45 Kugel (Re < 1,7 · 105)
0,4 Fahrrad (Rennrad)<ref name="ltam-zus" />
0,35 langer Zylinder, Draht (Re > 6,7 · 105)
0,34 Halbkugelschale, Konvexe Seite
0,09…0,18 Kugel (Re > 4,1 · 105)
0,08 Flugzeug (Bezugsfläche Tragfläche)
0,04 Stromlinienkörper „Tropfenform“
0,03 Pinguin
0,02 optimierte Spindelform

<math>\mathrm{Re}</math> bezeichnet hierbei die Reynolds-Zahl

Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen

Veröffentlichte cw-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, da sie oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt wurden und werden, früher beispielsweise durch die Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt mit cw=0,244 für den Tatra 87, der viel später als Original mit cw=0,36 gemessen wurde.<ref name="Hucho 2013">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Der cw-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche <math>A</math> (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche, die Fläche des größten Querschnitts<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:kfz-tech.de -   Luftwiderstand|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=kfz-tech.de -   Luftwiderstand}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://kfz-tech.de/Biblio/Formelsammlung/Luftwiderstand.htm%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=kfz-tech.de -   Luftwiderstand}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://kfz-tech.de/Biblio/Formelsammlung/Luftwiderstand.htm}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=kfz-tech.de -   Luftwiderstand}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2022-09-05 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>f_\mathrm w = c_\mathrm w A</math>.

Der Leistungsbedarf, der den Treibstoffverbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben. Als Faustformel für die Berechnung der Stirnfläche <math>A</math> werden 80 % der Fläche aus Karosseriehöhe und -breite vorgeschlagen.<ref name="Schoblick2013" />

Eine umfassende Sammlung von Kraftfahrzeug-cw-Werten, für die es Belege gibt, wurde auf die Seite „Wikipedia-Auto und Motorrad-Portal/Luftwiderstandsbeiwert“ ausgelagert.

Anmerkungen

<references group="A" />

Literatur

  • Sighard F. Hoerner: Fluid-Dynamic Drag. Eigenverlag, 1965.
  • Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
  • Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4.
  • Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3.
  • Wolfgang Demtröder: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (Experimentalphysik, Band 1).
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Weblinks

Einzelnachweise

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