Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form <math>C_n = n \cdot 2^n + 1</math>. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer <math>C_1=3</math> alle Zahlen dieser Form bis <math>C_{99}</math> zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich <math>C_{53}</math> konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle <math>C_n</math> bis <math>n=200</math> zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für <math>n=141</math>.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass <math>C_{141}</math> eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von <math>C_1</math> und <math>C_{141}</math> alle Cullen-Zahlen von <math>C_1</math> bis <math>C_{1000}</math> zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass <math>C_{4713}, C_{5795}, C_{6611}</math> und <math>C_{18\;\!496}</math> ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen <math>C_n</math> mit <math>n \leq 30\;\!000</math> zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen <math>C_n</math> für folgende <math>n</math> bekannt:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)

Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit <math>C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881 \cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1</math>, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.primegrid.com/download/cullen-6679881.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.primegrid.com/download/cullen-6679881.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:PrimeGrid{{#if: 2016-11-02 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis <math>n<13\;\!705\;\!481</math> gibt.<ref name="MathWorld">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Weisstein, Eric W.|Weisstein, Eric W.: }}{{#if:|{{#if:Cullen Number|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Cullen Number}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://mathworld.wolfram.com/CullenNumber.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Cullen Number}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://mathworld.wolfram.com/CullenNumber.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Cullen Number}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:MathWorld{{#if: 2016-05-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Eigenschaften von Cullen-Zahlen

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen.<ref name="Eigenschaften" /> Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form <math>p=2n-1</math>, wobei <math>p</math> eine Primzahl der Form <math>p=8k \pm 3</math> sein muss.<ref name="MathWorld" /> Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn <math>p</math> eine ungerade Primzahl ist, <math>p</math> ein Teiler von <math>C_{m(k)}</math> sein muss mit <math>m(k)=(2^k-k) \cdot (p-1)-k</math> für <math>k \geq0</math>.<ref name="Eigenschaften" />

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl <math>p</math> teilt die Cullen-Zahl <math>C_{\frac{p+1}{2}}</math>, wenn das Jacobi-Symbol <math>\left(\frac{2}{p} \right)=-1</math> ist.<ref name="Eigenschaften" />

Die Primzahl <math>p</math> teilt die Cullen-Zahl <math>C_{\frac{3p-1}{2}}</math>, wenn das Jacobi-Symbol <math>\left(\frac{2}{p} \right)=+1</math> ist.<ref name="Eigenschaften" />

Verallgemeinerte Cullen-Zahlen

Zahlen der Form <math>n \cdot b^n+1</math> mit <math>n+2>b</math> bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.<ref name="Eigenschaften" />

Die kleinsten <math>n</math>, für die <math>n \cdot b^n+1</math> prim ist, sind für aufsteigendes <math>b</math> = 1, 2, …:

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von <math>b</math> zwischen 1 und 30.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Generalized Cullen primes n bⁿ+1|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Generalized Cullen primes n bⁿ+1}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.loeh.name/guenter/gc/status.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Generalized Cullen primes n bⁿ+1}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.loeh.name/guenter/gc/status.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Generalized Cullen primes n bⁿ+1}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2016-05-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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b	n, sodass n・bⁿ + 1 prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	alle Primzahlen minus 1, d. h.: 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, …	alle Primzahlen	Folge A006093 in OEIS
2	1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …	13705481	Folge A005849 in OEIS
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, …	1200000	Folge A006552 in OEIS
4	(1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, …	250000	Folge A007646 in OEIS
5	1242, 18390, …	379575
6	(1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, …	200000	Folge A242176 in OEIS
7	34, 1980, 9898, …	255681	Folge A242177 in OEIS
8	(5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, …	166666	Folge A242178 in OEIS
9	(2), 12382, 27608, 31330, 117852, …	222431	Folge A265013 in OEIS
10	(1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, …	270026	Folge A007647 in OEIS
11	10, …	600000
12	(1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, …	254519	Folge A242196 in OEIS
13	…	1000000
14	(3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, …	246922	Folge A242197 in OEIS
15	(8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, …	136149	Folge A242198 in OEIS
16	(1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, …	125000	Folge A242199 in OEIS
17	19650, 236418, …	281261
18	(1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, …	203597	Folge A007648 in OEIS
19	6460, …	305777
20	(3), 6207, 8076, 22356, 151456, …	219976	Folge A338412 in OEIS
21	(2, 8), 26, 67100, …	274099
22	(1, 15), 189, 814, 19909, 72207, …	137649
23	4330, 89350, …	177567
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26	117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, …	147626
27	(2), 56, 23454, …, 259738, …	215413
28	(1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, …	200618
29	…	500000
30	(1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, …	101757

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist <math>4\;\!052\;\!186 \cdot 69^{4\;\!052\;\!186}+1</math>. Sie hat 7 451 366 Stellen und wurde am 17. April 2025 von Mark Williams, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Chris K.Caldwell|Chris K.Caldwell: }}{{#if:|{{#if:The Largest Known Primes! 4052186 · 69^4052186 + 1|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Largest Known Primes! 4052186 · 69^4052186 + 1}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://t5k.org/primes/page.php?id=140607%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Largest Known Primes! 4052186 · 69^4052186 + 1}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://t5k.org/primes/page.php?id=140607}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Largest Known Primes! 4052186 · 69^4052186 + 1}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Prime Pages{{#if: 2026-02-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Siehe auch

Woodall-Zahl

Literatur

J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

Einzelnachweise