Carleman-Ungleichung
Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge <math>(a_k)_k</math> durch ein konstantes Vielfaches der Reihe <math>\sum a_k</math> von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl <math>e</math> die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.
Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.
Satz
Aussage
Sei <math>(a_k)_k = (a_1, a_2, a_3, \ldots)</math> eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne <math>e</math> die eulersche Zahl <math>e \approx 2{,}71828\ldots</math>. Dann gilt:
- <math>
\sum_{k=1}^\infty \sqrt[k]{(a_1 a_2 \ldots a_k)} \leq e \cdot \sum_{k=1}^\infty a_k ~ \, </math>. Dabei ist <math>e</math> die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.
Beweis
Wegen <math> \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} </math> ist <math>\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{k} \quad </math> (Teleskopsumme)
und aus <math>\frac{1}{e^n}<\prod_{k=1}^n \left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\prod_{k=1}^n \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n}</math> folgt <math> \frac{1}{e}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}</math>
<math>\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)} k\, a_k =\sum_{1\le k\le n}\frac{1}{n(n+1)} k\, a_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}\; \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\, a_k</math> und das ist nach der AM-GM-Ungleichung
<math>\ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (k\,a_k)} =\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}\ge\frac{1}{e} \sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \qquad \Box</math>
Varianten
Für eine Funktion <math>f</math> mit <math>f \not\equiv 0</math> gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:
- <math>
\int_0^\infty \exp\left(\frac{1}{x} \int_0^x \ln f(t)\,dt\right)\,dx < e \cdot \int_0^\infty f(x)\,dx \, </math>.
Literatur
- G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 2nd edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1952 (2. edition, 1. paperback edition, reprinted. transferred to digital print. ebenda 2001, ISBN 0-521-35880-9).