Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym ( „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Datei:Discrete probability distribution illustration.png

Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen

Sei <math> E </math> ein polnischer Raum wie beispielsweise <math> \R^n </math>. Eine Funktion

<math> f\colon [0, \infty) \to E </math>

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle <math> x \in [0, \infty) </math> die Funktion <math> f </math> in <math> x </math> rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in <math> x </math> existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle <math> x \in [0, \infty) </math> die Funktion <math> f </math> in <math> x </math> linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in <math> x </math> existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen <math>f\colon I \to \mathbb{R}^d</math> auf einem Intervall <math>I = [a,b]</math> wird oft mit <math>D([a,b])</math> bezeichnet.

Raum der Càdlàg-Funktionen

Der Raum der Càdlàg-Funktionen lässt sich mit verschiedenen Metriken oder Topologien ausstatten:

• mit der primitiv durch die Supremumsnorm induzierten Metrik erhält man einen nicht-separablen Banachraum.
• mit bestimmt gewählten Metriken lassen sich die Skorochod-Topologien <math>J_1</math>, <math>J_2</math>, <math>M_1</math> oder <math>M_2</math> induzieren, wobei der Raum dann Skorochodraum genannt wird.<ref></ref><ref>A. V. Skorokhod: Limit Theorems for Stochastic Processes. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 1, Nr. 3, Januar 1956, ISSN 0040-585X, S. 261–290, doi:10.1137/1101022 (siam.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). </ref>
• mit der durch die stochastische Mechanik nach Edward Nelson motivierte Meyer-Zheng-Topologie.<ref>P. A. Meyer, W. A. Zheng: Tightness criteria for laws of semimartingales. In: Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques. Band 20, Nr. 4, 1984, ISSN 1778-7017, S. 353–372 (numdam.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). </ref>
• mit der <math>S</math>-Topologie nach Adam Jakubowski.<ref>Adam Jakubowski: A Non-Skorohod Topology on the Skorohod Space. In: Electronic Journal of Probability. Band 2, none, 1. Januar 1997, ISSN 1083-6489, doi:10.1214/EJP.v2-18 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). </ref><ref>Adam Jakubowski: New characterizations of the $S$ topology on the Skorokhod space. In: Electronic Communications in Probability. Band 23, none, 1. Januar 2018, ISSN 1083-589X, doi:10.1214/17-ECP105 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]). </ref>

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion <math>F(x) = P(X \leq x)</math> einer reellen Zufallsvariablen <math>X</math> ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess <math>X=(X_t)_{t\geq0}</math> wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad <math>t\rightarrow X_t</math> an jeder Stelle <math>t</math> rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch).
• Eintrag zum Skorokhod-Raum (archiviert) und zur Skorochod-Topologie (archiviert) in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eintrag zur Skorochod-Topologie im Lexikon der Mathematik

Einzelnachweise

<references />