Borelmaß

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum <math> (X, \tau) </math> mit borelscher σ-Algebra <math>\mathcal B= \sigma(\tau) </math>. Ein Maß

<math> \mu: \mathcal B \to [0, \infty] </math>

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes <math>x \in X</math> eine offene Umgebung <math>U_x</math> von <math> x </math> existiert mit <math>\mu(U_x) < \infty</math>.<ref> Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313. </ref>

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet<ref> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:|Vorlage:EoM/id}}</ref>. Manchmal werden auch

• äußere Maße, bezüglich derer alle Borelmengen Carathéodory-messbar sind<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
• beliebige Maße auf der borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes<ref>{{#if: | | Eric W. Weisstein }}: Borel Measure. In: MathWorld (englisch). {{#if: BorelMeasure | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | BorelMeasure | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }} </ref>

• das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf <math>\R</math>, das jedem Intervall <math>[a,b]</math> das Maß <math>b-a</math> zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum <math> X </math> ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist <math> x \in X </math>, so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung <math> U_x </math> ein kompaktes <math> K_x </math> und eine offene Umgebung <math> O_x </math> von <math> x </math> mit <math> O_x \subset K_x \subset U_x </math>. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann <math> \mu(O_x)\leq \mu(K_x)< \infty </math> und <math> O_x </math> ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge <math> K </math> endliches Maß hat: Für <math> x\in K </math> sei <math> O_x </math> eine offene Umgebung von <math> x </math> mit <math> \mu(O_x)<\infty </math>. Dann ist <math> (O_x)_{x \in K} </math> eine offene Überdeckung von <math> K </math>. Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung <math> (O_{x_i})_{i \in I}, \; |I|< \infty </math> existiert; damit ist <math> \mu(K)\leq \sum_{i\in I} \mu(O_x)< \infty </math>.

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte

Moderate Maße

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen <math> (O_n)_{n \in \N} </math> existiert, so dass

<math> X= \bigcup_{n \in \N} O_n</math>

ist und <math> \mu(O_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

<math>\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}</math>

für alle <math>A \in \mathcal B</math>. Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Literatur

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Einzelnachweise

<references/>