Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962<ref>N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).</ref> von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators <math>H</math>. Dann gilt für zwei Operatoren <math>A</math> und <math>C</math> (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_\mathrm B T}</math>

wobei <math>[A,C]</math> als Kommutator bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators <math>X</math> als

<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math>

gegeben ist. <math>k_\mathrm B</math> ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.<ref>Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.</ref>

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

<math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math>

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov’sche Ungleichung bekannt,<ref>siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality.</ref> aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie <math>F</math> eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als Bogoliubov’sche Ungleichung bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator <math>\mathcal H</math> des Systems durch eine Näherung <math>\mathcal H_0</math> ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math>

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, <math>F=-\beta^{-1} \ln {\rm{Spur}\,\,e^{-\beta\mathcal H}}\,.</math> Das Multiplikationszeichen, <math>\cdot \,,</math> ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (<math>\ln a\cdot b =\ln a + \ln b</math>).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2

Quellen