Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion <math>u(x,y)</math> heißt biharmonisch in einem Gebiet <math>D</math>, falls sie die biharmonische Gleichung

<math>\Delta\Delta u(x,y)= 0</math>

für alle Punkte <math>(x,y)\in D</math> erfüllt; <math>\Delta</math> ist hierbei der Laplace-Operator und somit <math>\Delta\Delta</math> der biharmonische Operator.

Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von <math>u(x,y)</math>.

In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung <math>u(x,y)</math> einer Platte in einem Punkt <math>(x,y)</math> gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

<math>\Delta\Delta u(x,y)= f(x,y) </math>

Hier ist <math>f(x,y)</math> die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten.

Siehe auch

• Bi-Yang-Mills-Gleichungen, nichtlineare Verallgemeinerung

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Biharmonic Equation. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}