Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite <math>f</math> einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.<ref>F. W. Bessel: Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres. In: Astronomische Nachrichten, Band XVII (1840), No. 403, S. 289–294 (Digitalisat)</ref>

Grundlagen

Datei:Bessel Method.png

Aufbau und Bezeichnungen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position <math>P_1</math> ist das Bild vergrößert, in der Position <math>P_2</math> ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand <math>a</math> des Gegenstandes zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite <math>f</math> zuzüglich der Distanz <math>\overline{HH'}</math> der beiden Hauptebenen der Linse:

<math>a>4f+\overline{HH'}</math>

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände <math>x_1</math> und <math>x_2</math> von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand <math>e</math> der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math> für dünne Linsen,

<math>f=\frac{(a-\overline{HH'})^2-e^2}{4(a-\overline{HH'})}</math> für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von <math>\overline{HH'}</math> zu groß, abhängig von <math>a</math>.

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Dünne Linsen

Datei:Sammellinse Skizze.svg

Bezeichnungen an der dünnen Linse

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

<math>b+g=a</math>,

wobei <math>b</math> die Bildweite und <math>g</math> die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand <math>e</math> der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

und Einsetzen von <math>g=a-b</math> sowie

erhält man

<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{\frac{a-e}{2}}+\frac{1}{a-\frac{a-e}{2}}=\frac{2}{a-e}+\frac{2}{a+e}=\frac{4a}{a^2-e^2}</math>.

Die Umformung ergibt

<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math>.

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

und Einsetzen von <math>b=a-g</math> (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für <math>g</math>:

<math>\frac{1}{f}=\frac{a}{ag-g^2}</math>.

Wird diese quadratische Gleichung nach <math>g</math> aufgelöst, erhält man

<math>e=\Delta g=\sqrt{a^2-4af}</math>.

wobei <math>e</math> als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten <math>g</math> definiert ist. Die Umformung ergibt

<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math> .

Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen <math>\overline{HH'}</math> ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

<math>a=g+b+\overline{HH'}</math> und

<math>e=(a-\overline{HH'})-2b</math> .

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

<math>f=\frac{(a-\overline{HH'})^2-e^2}{4(a-\overline{HH'})}</math> .

Literatur

Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

Anmerkungen