Bessel-Filter
Ein Bessel-Filter (auch als Bessel-Thomson-Filter bezeichnet) ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:
- optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) nahezu unverändert am Ausgang;
- konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
- linearer Phasengang im Durchlassbereich.
Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.
Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.
In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.
Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.
Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung
- <math>
\underline{A} = \frac{A_0}{1+\sum_{i=1}^n c_i^\prime P^i} </math>
mit
- <math> A_0</math> Gleichspannungsverstärkung
- <math> P = \frac{p}{\omega _g} \Leftrightarrow j \Omega = j \frac{\omega}{\omega _g} </math> und <math>\omega _g</math> Grenzfrequenz
lässt sich für die Koeffizienten <math>c_i^\prime</math> die Rekursionsformel
| i = 1: | <math>c_1^\prime = 1</math> |
| i = 2 … n: | <math>c_i^\prime = \frac{2(n-i+1)}{i(2n -i+1)} \cdot c_{i-1}^\prime</math> |
ermitteln.
Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d. h. bei <math>\Omega = 1</math> ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken. In <ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> finden sich diese Koeffizienten auf die Grenzfrequenz umgerechnet sowie die Koeffizienten aller Einzelfilter bis zur zehnten Ordnung.
Eigenschaften
Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:
- glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
- geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
- geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
- konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich
Normalisierte Bessel-Polynome
| n | Bessel-Polynom |
|---|---|
| 1 | <math>1+P</math> |
| 2 | <math>1+P+\frac{1}{3}P^2</math> |
| 3 | <math>1+P+\frac{2}{5}P^2+\frac{1}{15}P^3</math> |
| 4 | <math>1+P+\frac{3}{7}P^2+\frac{2}{21}P^3+\frac{1}{105}P^4</math> |
| 5 | <math>1+P+\frac{4}{9}P^2+\frac{1}{9}P^3+\frac{1}{63}P^4+\frac{1}{945}P^5</math> |
Siehe auch
Literatur
- T. D. McGlone: Butterworth & Bessel Filters: A Tutorial Overview. CreateSpace Independent Publishing Platform, 2016, ISBN 978-1533172808.
Einzelnachweise
<references />