Beobachter (Regelungstechnik)
Ein Beobachter ist in der Regelungstechnik ein System, das aus bekannten Eingangsgrößen (z. B. Stellgrößen oder messbaren Störgrößen) und Ausgangsgrößen (Messgrößen) eines beobachteten Referenzsystems nicht messbare Größen (Zustände) rekonstruiert. Dazu bildet er das beobachtete Referenzsystem als Modell nach und führt mit einem Regler die messbaren, und deshalb mit dem Referenzsystem vergleichbaren, Zustandsgrößen nach. So soll vermieden werden, dass ein Modell, insbesondere bei Referenzsystemen mit integrierendem Verhalten, einen über die Zeit wachsenden Fehler generiert. Treffender wäre es von einem referenzgeregelten Synthetisierer (englisch reference controlled synthesizer) zu sprechen.
Ein Beobachter kann genau dann entworfen werden, wenn das Referenzsystem über die vorhandenen Messgrößen beobachtbar ist. Die Beobachtbarkeit ist jedoch im Allgemeinen keine notwendige Bedingung für den Beobachterentwurf. Stattdessen ist es ausreichend, wenn das System detektierbar ist.
Eingesetzt werden Beobachter z. B.
- bei Zustandsreglern zur Rekonstruktion nicht messbarer Zustandsgrößen
- bei zeitdiskreten Regelungen, bei denen die Messgröße nicht in jedem Zyklus aktualisiert werden kann,
- in der Messtechnik als Ersatz für technisch oder wirtschaftlich nicht mögliche Messungen.
Eine durchgängige Theorie wurde ab 1964 von dem amerikanischen Regelungstechniker David Luenberger für lineare Systemmodelle und eine konstante proportionale Rückführung des Fehlers entwickelt. Das Verfahren kann prinzipiell auf nichtlineare Modelle erweitert werden.<ref group="FOE:NL2" name="FOE:NL2:Abschn7.5">Abschnitt 7.5</ref>
Luenberger-Beobachter
Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung des Beobachters zum Regelstreckenmodell.<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn3.3.2">Abschnitt 3.3.2</ref> Dabei wird die Differenz zwischen dem Messwert der Strecke <math>\mathbf{y}</math> und dem "Messwert" des Beobachters <math>\hat\mathbf{y}</math>, d. h. <math>\mathbf{y}(t) -\hat{\mathbf{y}}(t)</math> auf das Modell zurückgeführt. Damit kann der Beobachter auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren. Die grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist:
- <math>\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{u}_B(t)</math> mit <math>\hat{\mathbf{x}}(0)=\hat{\mathbf{x}}_0</math>
- <math>\hat{\mathbf{y}}(t) =\mathbf{C} \hat{\mathbf{x}}(t)</math>
dabei bestimmt sich
- <math>\mathbf{u}_B(t)=\mathbf{L}(\mathbf{y}(t)-\hat{\mathbf{y}}(t))
=\mathbf{L}\mathbf{C}(\mathbf{x}(t)-\hat{\mathbf{x}}(t))</math>
somit ergibt sich für den Beobachter
- <math>
\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)=
(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}) \hat{\mathbf{x}}(t)+ \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{L} \mathbf{y}(t)</math>
Für den Beobachtungsfehler <math>\mathbf{e}(t)=\mathbf{x}(t)-\hat{\mathbf{x}}(t)</math> eines Luenberger-Beobachters gilt daher <math>\lim_{t \to \infty}||\mathbf{e}(t)||=\mathbf{0}</math>, wenn alle Eigenwerte der Matrix <math>(\mathbf{A}\ -\ \mathbf{L} \mathbf{C})</math> negative Realteile besitzen.
Die Bestimmung der Rückführung erfolgt analog zum Reglerentwurf durch Polvorgabe, indem folgende Ersetzungen vorgenommen werden:<ref group="FOE:RT" name="FOE:RT:(13.158)">Abschn. 13.7.2 / Formel (13.158)</ref>
- <math>\mathbf{A}^T</math> statt <math>\mathbf{A}</math>
- <math>\mathbf{C}^T</math> statt <math>\mathbf{B}</math>
- <math>\mathbf{L}^T</math> statt <math>\mathbf{K}</math>
Das Beispielsystem hat die Eigenwerte <math>e_1=-2</math> und <math>e_2=-4</math>. Damit der Beobachter dem System folgen kann, müssen dessen Eigenwerte links von denen des Systems liegen. Diese Forderung ist für <math>\lambda_{1,2}=-8</math> erfüllt. Die charakteristische Gleichung lautet in diesem Fall
- <math>
P(s)=64+16s+s^2\,
</math>
und damit <math>a_{B0}=64</math> und <math>a_{B1}=16</math>. Die Rückführmatrix ist damit
- <math>
\mathbf{L}^T=\begin{pmatrix} 56 & 10 \end{pmatrix}
</math>.
Für den vollständigen Beobachter lautet die Differenzialgleichung
- <math>\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)=
\begin{pmatrix}
0 & -64 \\
1 & -16
\end{pmatrix} \hat{\mathbf{x}}+
\begin{pmatrix}
8 \\
0
\end{pmatrix} u(t) +
\begin{pmatrix}
56 \\
10
\end{pmatrix} y(t)</math>.
Strukturelle Beobachtbarkeit
Systeme können aus zwei Gründen nicht beobachtbar sein:
- Eine konkrete Parameterkombination führt zur Nichtbeobachtbarkeit.
- Die Struktur des Systems führt dazu, dass das System bei beliebiger Besetzung der Nichtnullelemente der Systemmatrix (die in der Praxis von physikalischen Parametern abhängen) nicht beobachtbar bzw. bei keiner Parameterkombination beobachtbar ist. Dies ist der Fall, wenn notwendige Signalkoppelungen zwischen Zustands- und Messgrößen fehlen.
Um nachzuweisen, dass ein System strukturell nicht beobachtbar ist, müssen graphentheoretische Verfahren eingesetzt werden.
Dagegen ist die strukturelle Beobachtbarkeit leicht nachzuweisen: wenn nämlich gezeigt werden kann, dass eine bestimmte Parameterkombination (z. B. alle Nichtnullelemente == 1) ein vollständig beobachtbares System beschreibt.<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn3.4">Abschnitt 3.4</ref>
Vollständige Beobachtbarkeit
Die Zustandsraumdarstellung eines linearen Systems lautet
- <math>\mathbf{\dot x} = \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}</math>
- <math>\mathbf{y}=\mathbf{Cx}+\mathbf{Du}</math>.
Das System ist beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion <math>\mathbf{u(t)}</math> und bekannten Matrizen <math>\mathbf{A}</math> und <math>\mathbf{C}</math> aus dem Verlauf des Ausgangsvektors <math>\mathbf{y(t)}</math> über ein endliches Zeitintervall <math> t_0 \le t \le t_1 </math> der Anfangszustand <math>\mathbf{x(t_0)}</math> eindeutig bestimmt werden kann.
Im Folgenden wird als Beispiel ein System mit einem Eingang <math>u(t)\;</math> und einem Ausgang <math>y(t)\;</math> (SISO: Single Input, Single Output) verwendet.
- <math>
\mathbf{\dot x}=
\begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
4 & -4
\end{pmatrix}\mathbf{x}+
\begin{pmatrix}
2 \\
0
\end{pmatrix}u
</math>
- <math>
y=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{x}
</math>
Es beschreibt die Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit den Zeitkonstanten <math>T_1=0{,}5</math> und <math>T_2=0{,}25</math>.
Nachweis
Strukturelle Beobachtbarkeit ist eine notwendige Bedingung für die vollständige Beobachtbarkeit. Jedoch werden zumeist nur die folgenden Kriterien genutzt, um eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.
Das Kriterium nach Kalman ist relativ einfach zu bestimmen, jedoch kann man dabei die Beobachtbarkeit nicht auf einzelne Eigenvorgänge beziehungsweise Eigenwerte beziehen. Dies kann mit Hilfe des Gilbert- und des Hautus-Kriteriums geschehen.
Kriterium von Kalman
Das System (A,C) ist genau dann nach Kalman vollständig beobachtbar,<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn3.2.2">Abschnitt 3.2.2</ref> wenn die Beobachtbarkeitsmatrix <math>S_B</math> den Rang <math>n</math> hat bzw. deren Determinante im Falle nur einer Messgröße ungleich 0 ist:
- <math>\mathrm{Rang}\ S_B{ }={ }n</math> mit
- <math>S_B=\begin{pmatrix}
C\\
CA\\
CA^2\\
\dots \\
CA^{n-1}
\end{pmatrix}
</math>
Für das Beispielsystem gilt
- <math>
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
4 & -4
\end{pmatrix}
</math>
und
- <math>
\mathbf{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>
mit der Beobachtbarkeitsmatrix
- <math>
\mathbf{S_B}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
4 & -4
\end{pmatrix}
</math>.
Es gilt <math>\mathrm{det} \mathbf{(S_B)}=-4</math> und damit ist der Rang gleich 2. Das System ist vollständig beobachtbar.
Kriterium von Gilbert
Wenn das Modell in kanonischer Normalform (Jordansche Normalform)
- <math>
\begin{align} \frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} & = \mathrm{diag} (\lambda_i) \mathbf{\tilde x}+\mathbf{\tilde B}u, \ \mathbf{\tilde x} (0)=V^{-1} \mathbf{x}_0,\\ y & = \mathbf{\tilde C} \mathbf{\tilde x}\\ \end{align} </math> mit
- <math>
\begin{align} \mathbf{\tilde B} & = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{B},\\ \mathbf{\tilde C} & = \mathbf{CV} \end{align} </math>
und <math>\mathbf{V}\!\,</math> als Matrix der Eigenvektoren vorliegt, gilt das Kriterium von Gilbert:<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn3.2.4">Abschnitt 3.2.4</ref>
Ein System <math>(\mathrm{diag} (\lambda_i),\mathbf{ \tilde C} )</math>, dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix <math>\mathbf{\tilde C}</math> keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten <math>\mathbf{\tilde c}_{i} </math>, der Matrix <math>\mathbf{\tilde C} </math>, die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.
Die kanonische Normalform des Beispielsystems lautet
- <math>
\begin{align}
\frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} & =
\begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -4
\end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}+
\begin{pmatrix}
4{,}472 \\
-4
\end{pmatrix}u, \\
y & = \begin{pmatrix}0{,}894 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}.
\end{align} </math>
Die Matrix <math>\mathbf{\tilde C}=\begin{pmatrix}0{,}894 & 1\end{pmatrix}</math> besitzt nur Spalten (hier Elemente) ungleich 0. Der Test auf lineare Abhängigkeit entfällt hier, da das System einfache Eigenwerte hat.
Das System ist vollständig beobachtbar.
Kriterium von Hautus
Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar nach Hautus<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn3.2.4" />, wenn die Bedingung:
- <math>\mathrm{Rang}\begin{pmatrix}
\lambda_i I - \mathbf{A}\\
\mathbf{C}
\end{pmatrix}=n
</math>
- für alle Eigenwerte <math>\lambda_i(i=1,2,\ldots,n)</math> der Matrix A erfüllt ist.
Die Systemmatrix des Beispiels hat die Eigenwerte <math>\lambda_1=-2</math> und <math>\lambda_2=-4</math>. Für beide Eigenwerte ist die Bedingung
- <math>
\mathrm{Rang}\begin{pmatrix}
\lambda_i+2 & 0 \\
-4 & \lambda_i+4 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=2
</math>
erfüllt. Das System ist also vollständig beobachtbar.
Beobachtbarkeit von Abtastsystemen
Die oben genannten Beziehungen gelten auch für Abtastsysteme, wenn <math>\mathbf{A}</math> durch die Transitionsmatrix ersetzt wird. Nach<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn.11.3.3">Abschnitt 11.3.3</ref> kann die Überprüfung vereinfacht werden, indem zunächst die Bedingungen für das kontinuierliche System geprüft werden und dann die Zusatzbedingung
- <math>e^{s_i T_{ab}} \ne e^{s_j T_{ab}} </math> für <math> s_i \ne s_j</math>
erfüllt ist.
Beobachter-Normalform
Für ein lineares System mit einem Eingang und einem Ausgang kann die Beobachter-Normalform unter anderem aus der zur Übertragungsfunktion
- <math>G(s) = \frac{b_0 + b_1s + \dots + b_{n-1}s^{n-1} + b_{n}s^{n}}{a_0 + a_1s + \dots + a_{n-1}s^{n-1} + s^{n}}</math>
äquivalenten Differentialgleichung bestimmt werden.
- <math>\begin{bmatrix}
\dot x_1\\ \dot x_2\\ \dots\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix}
0&0& \dots & 0 &-a_0\\
1&0& \dots & 0 &-a_1\\
0&1& \dots & 0 &-a_2\\
\dots& \dots &\dots &\dots &\dots \\
0 & \dots &\dots & 1 &-a_{n-1}\\
\end{pmatrix}}_{A_B}
\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0-a_0b_n\\ b_1-a_1b_n\\ \dots\\ b_{n-2}-a_{n-2}b_n\\ b_{n-1}-a_{n-1}b_n\\\end{bmatrix} }_{b_B} u </math>
- <math>y=
\begin{matrix} \underbrace{(0 \ 0 \ .\ .\ . \ 1)}\\ \textrm{}^{\rm c^T_B} \end{matrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_B} \end{matrix}
u</math>.
Das Beispielsystem hat die Übertragungsfunktion
- <math>
G(s)=\frac{8}{8+6s+s^2}
</math>.
Daraus folgt mit <math>b_0=8</math>, <math>a_0=8</math> und <math>a_1=6</math>
- <math>
A_B=\begin{pmatrix}
0 & -8 \\
1 & -6
\end{pmatrix} </math>
- <math>
b_B=\begin{pmatrix}
8 \\
0
\end{pmatrix} </math>
- <math>
{c^T}_B=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}. </math>
Reduzierter Beobachter
Oft können einige Zustandsgrößen direkt gemessen werden. Damit ist es nicht notwendig, diese zu rekonstruieren. Ein reduzierter Beobachter kann daher hergeleitet werden, der nur noch die nicht gemessenen Zustandsgrößen rekonstruiert. Die Ordnung des reduzierten Beobachters ist gegenüber dem vollständigen Beobachter um die Anzahl der Messgrößen reduziert. Dieses Verfahren lässt sich auch für den Fall erweitern, dass die Messgrößen keine Zustandsgrößen sind.<ref group="LUN:RT2" name="LUN:RT2:Abschn8.4">Abschnitt 8.4</ref>
Nach Umsortieren der Matrizenzeilen in gemessene <math>\mathbf{x_M}</math> und beobachtete <math>\mathbf{x_B}</math> Zustände lautet die Zustandsraumdarstellung des Eingrößensystems
- <math>
\begin{pmatrix}
\mathbf{\dot x_M} \\
\mathbf{\dot x_B}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{A_{11}} & \mathbf{A_{12}} \\
\mathbf{A_{21}} & \mathbf{A_{22}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{x_M} \\
\mathbf{x_B}
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
\mathbf{b_M} \\
\mathbf{b_B}
\end{pmatrix}u
</math>
- <math>
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}\mathbf{c^T_M} & \mathbf{c^T_B} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{x_M} \\
\mathbf{x_B}
\end{pmatrix}
</math>
Die Zustandsgleichung des vollen Systems ist
- <math>
\mathbf{\dot x}=\mathbf{Ax}+\mathbf{b}u
</math>
und die des reduzierten Systems ist
- <math>
\mathbf{\dot x_B}=\mathbf{A_{22}x_B}+\mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u
</math>.
Die Messgleichung des vollen Systems ist
- <math>
\mathbf{y}=\mathbf{c^Tx}
</math>
und die des reduzierten Systems ist
- <math>
\mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_M}-\mathbf{b_M}u=\mathbf{A_{12}x_B}
</math>.
Die Substitution
- <math>
\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x_B}
</math>
- <math>
\mathbf{A} \leftarrow \mathbf{A_{22}}
</math>
- <math>
\mathbf{b}u \leftarrow \mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u
</math>
- <math>
y \leftarrow \mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_M}-\mathbf{b_M}u
</math>
- <math>
\mathbf{c^T} \leftarrow \mathbf{A_{12}}
</math>
in die Gleichung des vollen Beobachters eingesetzt ergibt
- <math>
\mathbf{\dot \hat x_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\hat x_B}+
(\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}})y+
(\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u+\mathbf{l}\dot y
</math>.
In dieser Darstellung stört noch die zeitliche Ableitung von y. Die Transformation
- <math>
\mathbf{\tilde x_B}=\mathbf{\hat x_B}-\mathbf{l}y
</math>
ergibt die Gleichung
- <math>
\mathbf{\dot{\tilde x}_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\tilde x_B}+
(\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}}+\mathbf{A_{22}l}-\mathbf{lA_{12}l})y+
(\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u
</math>
und daraus den geschätzten Zustandsvektor
- <math>
\mathbf{\hat x_B}=\mathbf{\tilde x_B}+\mathbf{l}y
</math>.
Siehe auch
Quellen
Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. 1994, ISBN 3-7785-2336-8. <references group="FOE:RT" />
Otto Föllinger: Nichtlineare Regelungen. 7., überarb. u. erw. Auflage. Band 2 Harmonische Balance, Popow- und Kreiskriterium, Hyperstabilität, Synthese im Zustandsraum. Oldenbourg, München 1993. <references group="FOE:NL2" />
Jan Lunze: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-78462-3. <references group="LUN:RT2" />
Literatur
- S.D.G. Cumming: Design of observers of reduced dynamics. In: Electronic Letters. Band 5, 1969, S. 213–214.
- D. G. Luenberger: Observing the state of a linear system. In: IEEE Transaction on Military Electronics. Band 8, 1964, S. 74–80.
- R.E. Kalman, B. Bucy: New results in linear filtering and prediction theory. In: Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME). 83D, 1961, S. 98–108.
- A. Gelb: Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts 1974.
- Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. ISBN 3-7785-2336-8.