Banachlimes

In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum <math>\ell^\infty</math>.

Definition

Im Folgenden bezeichne <math>T</math> den Linksshift

<math>T(x_n)_{n\in\N} = (x_{n+1})_{n\in\N}</math>

und <math>e = (1, 1, 1, \ldots)</math> die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional <math>\ell\colon\ell^\infty\to\R</math>, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

• <math>\ell(e) = 1,</math>
• für alle <math>x \in \ell^\infty</math> gilt
  • <math>\ell(x) = \ell(Tx),</math>
  • falls <math>x_n \ge 0</math> für alle <math>n \in \N</math>, so ist auch <math>\ell(x) \ge 0.</math>

Eigenschaften

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass <math>\ell</math> den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen <math>c</math> definiert ist, nach <math>\ell^\infty</math> fortsetzt:

<math>\ell(x) = \lim_{n\to\infty} x_n</math> für <math>x\in c</math>

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

<math>x = (1, 0, 1, 0, \ldots)</math>

Aufgrund der Linearität von <math>\ell</math> und der Invarianz unter <math>T</math> ist der Banachgrenzwert von <math>x</math> gleich <math>0{,}5</math>.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus <math>(\ell^\infty)'</math>, das nicht von der Gestalt

<math>x \mapsto \sum_{n=1}^\infty c_n x_n, \quad c \in \ell^1</math>

ist.

Literatur

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