Satz von Banach-Mackey

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln

Ist <math>B\subset E</math> eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist <math>\textstyle E_B := \bigcup_{t>0}tB</math> ein Untervektorraum von <math>E</math>, der durch das auf <math>E_B</math> eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man <math>B</math> eine Banachkugel.

Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum <math>E_B</math> ein Banachraum ist.
Im Folgenraum <math>\omega</math> aller reellen Folgen ist die Menge <math>B</math> aller Folgen <math>(x_i)_i</math> mit <math> x_i=0</math> für alle <math>i > n</math> und <math>|x_i|\le 1</math> für <math>i=1,\ldots, n</math> eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von <math>B</math> auf <math>E_B\cong \R^n</math> ist gleich der Maximumsnorm.
Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.<ref>R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14</ref>
Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey

Eine Teilmenge <math>B\subset E</math> eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. <math>B</math> heißt stark beschränkt, wenn <math>\sup\{|f(x)|;\, x\in B, f\in M\} < \infty</math> für alle Teilmengen <math>M\subset E^'</math> des Dualraums, für die <math>\sup\{|f(x)|;\,f\in M\}<\infty</math> für alle <math>x\in E</math> gilt.

Indem man für die Mengen <math>M</math> in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

Satz von Banach-Mackey<ref>R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12</ref>: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen

Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.<ref>R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15</ref>
Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.<ref>R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21</ref>

Einzelnachweise