Bahnelement

Datei:BahnelementeEllipse.svg

Bahnelemente der elliptischen Umlaufbahn eines Himmelskörpers um einen Zentralkörper (Sonne/Erde)
Sechs Bahnelemente
a: Länge der großen Halbachse
e: numerische Exzentrizität
i: Bahnneigung, Inklination
Ω: Länge/Rektaszension des aufsteigenden Knotens
ω: Argument der Periapsis, Periapsisabstand
t: Zeitpunkt der Periapsispassage, Periapsiszeit, Epoche des Periapsisdurchgangs
Weitere Bezeichnungen
M: Ellipsenzentrum. B: Brennpunkt, Zentralkörper, Sonne/Erde. P: Periapsis. A: Apoapsis. AP: Apsidenlinie. HK: Himmelskörper, Planet/Satellit. ☋: absteigender Knoten. ☊: aufsteigender Knoten. ☋☊: Knotenlinie. ♈: Frühlingspunkt. ν: wahre Anomalie. r: Abstand des Himmelskörpers HK vom Zentralkörper B

Als Bahnelemente werden die Parameter bezeichnet, die die Bahn und die Bewegung eines astronomischen Objekts beschreiben, das den Keplerschen Gesetzen im Schwerefeld eines Himmelskörpers gehorcht (Zweikörperproblem).

Sind keine Bahnstörungen zu berücksichtigen, so genügen zur vollständigen Beschreibung sechs Bahnelemente. Zwei Bahnelemente beschreiben die Gestalt der Bahn, drei Elemente beschreiben die Lage der Bahn im Raum und ein Element ist der Zeitpunkt, an dem der Himmelskörper einen bestimmten Punkt auf der Bahn passiert. Die häufigste mit Elementen beschriebene Bahn ist die Ellipse.

Satellitenbahnelemente enthalten außer den 6 Elementen einer ungestörten Bewegung auf einer Keplerellipse üblicherweise weitere Parameter, mit denen Bahnstörungen berücksichtigt werden.

Die Bahnelemente bei elliptischer Bahn

Zentralkörperspezifische Angaben sind, wie in der Abbildung oben, in der Reihenfolge Sonne/Erde durch Schrägstrich markiert.

Gestaltelemente

Die Beschreibung der Gestalt der Bahnkurve erfordert zwei Werte, die die Form und die Größe festlegen:

Die numerische Exzentrizität <math>\textstyle e</math>.
Die große Halbachse <math>\textstyle a</math>.

Daraus abgeleitet werden:

Der Halbparameter <math>\textstyle p</math>. Mit ihm ergibt sich die Parameterdarstellung der Keplerbahn: <math>\textstyle r(\varphi) = r(p,e)</math>.
Die Periapsisdistanz <math>\textstyle r_\text{min}</math>: Entfernung des Hauptscheitels zum Brennpunkt.
Der Exzentrizitätswinkel <math>\textstyle\Phi =\arcsin e</math>

Lageelemente

Die Lage im Raum relativ zu einem Referenzsystem wird durch drei Parameter bestimmt:

die Inklination <math>\textstyle i</math>: Das ist der Winkel zwischen der Bahnebene und der Referenzebene.
den Winkel des aufsteigenden Knotens (Länge/Rektaszension des Knotens) <math>\textstyle \Omega</math>: Der in der Referenzebene gemessene Winkel zwischen der Referenzebenen-Bezugsrichtung und dem aufsteigenden Knoten (an der Schnittlinie Referenzebene-Bahnebene).

Diese beiden Winkel bestimmen die Orientierung der Bahnebene.

das Argument der Periapsis <math>\textstyle \omega</math>: Der in der Bahnebene gemessene Winkel zwischen dem aufsteigenden Knoten und der Periapsis (zentrumsnächster Punkt der Bahn auf der großen Halbachse).

Dieser Winkel bestimmt die Orientierung der Bahn in ihrer Ebene.

Zeitbezug

Der Zeitbezug legt den Zeitnullpunkt fest:

Epoche <math>\textstyle t</math> (Zeitpunkt) des Periapsisdurchgangs des Körpers.

Abgeleitete Größen

Mittlere Bewegung <math>\textstyle n</math>: mittlere Winkelgeschwindigkeit der mittleren Anomalie <math>\textstyle M</math>

Die Umlaufzeit als siebentes Bahnelement

Streng genommen gehört die Umlaufzeit <math>\textstyle P</math> als siebentes Bahnelement zu den zur allgemeinen Beschreibung des Zweikörperproblems notwendigen unabhängigen Größen. Sie wird oft nicht angegeben, da sie und die große Halbachse über das Gravitationsgesetz miteinander verknüpft sind, und die Masse des betrachteten Körpers gegenüber der des Zentralkörpers vernachlässigbar ist. Wenn die Masse des kleineren Körpers ebenfalls im Gravitationsgesetz beachtet werden muss, ist sie indirekt das siebente Bahnelement.<ref>Oliver Montenbruck: Grundlagen der Ephemeridenrechnung, Sterne und Weltraum, Heidelberg 2001, ISBN 3-87973-941-2, S. 57</ref>

Die Angabe von Bahnelementen

Das 6-Tupel <math>\textstyle \begin{pmatrix}p, & e, & i, & \Omega, & \omega, & t \end{pmatrix}</math> bezeichnet man als klassische Bahnelemente<ref>Guthmann, S. 163</ref>.

Daneben gibt es auch andere Möglichkeiten, die dem jeweiligen Fall angepasst sind:

<math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\omega, &t \end{pmatrix}</math> ist besonders für Kometen und die Planeten des Sonnensystems geeignet.
<math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\omega, &M \end{pmatrix}</math> für den Pluto und die Kleinplaneten, wie sie der Astronomical Almanac verwendet<ref>Vollmann, 8.1</ref>.
<math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\Pi, &L \end{pmatrix}</math> gibt etwa die Planetentheorie VSOP 82 auf indirektem Wege.
<math>\textstyle \begin{pmatrix}n, &e, &i, &\Omega, &\omega, &M \end{pmatrix}</math> das System des NASA/NORAD Two Line Elements Format für künstliche Erdsatelliten

Übersicht

Bahnelement				Verwendbarkeit
Bahnelement	Bezug	Symbol	Dimension	Ellipse	Parabel / Hyperbel
Numerische Exzentrizität	Form	e, ε	1	Ja	Ja
Exzentrizitätswinkel	Form	Φ	1	Ja	Nein
Halbparameter	Größe	p	Länge	Ja	Ja
Periapsisdistanz	Größe	r_min	Länge	Ja	Ja
Große Halbachse	Größe	a, α	Länge	Ja	Nein
Inklination, Bahnneigung	Lage	i	Winkel	Ja	Ja
Winkel des Knotens	Lage	Ω	Winkel	Ja	0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=1\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|1}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}
Argument der Periapsis	Lage	ω	Winkel	Ja	Ja
Mittlere Bewegung	Zeitverhalten	μ, n, V	1 / Zeit	Ja	Ja
Winkelgeschwindigkeit <templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=2\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|2}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	Zeit-Ortverhalten		Winkel / Zeit	Ja	Ja
Mittlere Anomalie <templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=2\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|2}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	Bahnort	M	Winkel	Ja	Nein
Mittlere Länge <templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=2\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|2}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	Bahnort	λ, L	Winkel	Ja	Nein
Radiusvektor <templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil\|anchorencode\|1=2\|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl\|nowiki1\|2}}</{{#ifeq: \| 0 \| span \| sup}}>{{#switch:0\|10\|11=\|#default={{#invoke:TemplatePar\|match	1=1=+	2=SUP=n	3=gruppe=*	template=Vorlage:FN	cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten }}{{#switch: ERROR	{{#switch: Vorlage:Str match \|[\|] = ERROR \|(Direkteingabe der Klammern)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|91\|93 = ERROR \|(HTML-Entität dezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|5b\|5d = ERROR \|(HTML-Entität hexadezimal)}}	{{#switch: Vorlage:Str match \|lbrack\|rbrack = ERROR \|(benannte HTML-Entität)}} =Vorlage:FN, Fehler in Parameter 1: Keine eckigen Klammern verwenden, das führt sonst zu Verwechslungen mit dem offiziellen MediaWiki-Belegsystem. }}}}	Bahnort	<math>\vec R </math>	Länge	Ja	Ja
Umlaufperiode	Zeitbezug	P	Zeit	Ja	Nein
Periapsiszeit	Zeitbezug	t	Zeit	Ja	Ja

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Siehe auch

Umlaufbahn – die geschlossene Keplerbahn

Literatur

Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4
Wolfgang Vollmann: Wandelgestirnörter. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Zeiss-Planetarium der Stadt Wien und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102 (weblink, 3. Feb. 2011)
Jean Meeus: Astronomical Algorithms. Willmann-Bell, Richmond 1991, ISBN 0-943396-35-2

Weblinks

Minor Planet Center (englisch)
Central Bureau for Astronomical Telegrams (englisch)

Einzelnachweise

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