Atomare Einheiten

Die atomaren Einheiten (englisch: atomic units, a. u.) bilden ein natürliches Einheitensystem, das hauptsächlich in der Atom- und Molekülphysik und der Theoretischen Chemie benutzt wird. Die atomaren Einheiten gehen von den Eigenschaften des Elektrons im Wasserstoffatom aus.

Die atomaren Einheiten sind:<ref name=Hartree_1957/><ref name=Gold_Book_01/>

Physikalische Größe	<math>\qquad 1 \;\mathrm{a. u.} \,=</math>		SI-Wert
Länge	Bohrscher Radius	<math>a_0 = \frac{\hbar}{\alpha m_\mathrm e c}</math>	<math>\approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}</math>
Masse	Elektronenmasse	<math>m_\mathrm e</math>	<math>\approx 9{,}11\cdot 10^{-31}\, \mathrm{kg}</math> <math>\approx 511\,\mathrm{keV/c^2}</math>
Elektrische Ladung	Elementarladung	<math>e</math>	<math>\approx 1{,}60\cdot 10^{-19}\, \mathrm{C}</math>
Drehimpuls	reduzierte Planck-Konstante	<math>\hbar</math>	<math>\approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}\, \mathrm{Js}</math> <math>\approx 6{,}58 \cdot 10^{-16}\, \mathrm{eV\,s}</math>
Wirkung
Energie	Hartree-Energie	<math>E_\mathrm h = \frac{\hbar^2}{m_\mathrm e {a_0}^2} </math>	<math>\approx 4{,}36 \cdot 10^{-18}\, \mathrm{J}</math> <math>\approx 27{,}2\, \mathrm{eV}</math>
Zeit		<math>\frac \hbar {E_\mathrm h}</math>	<math>\approx 2{,}42 \cdot 10^{-17}\, \mathrm{s}</math>

Die atomare Masseneinheit <math>u</math> gehört trotz ihres Namens nicht zu den Atomaren Einheiten.<ref name="amu" /> Diese beschreibt näherungsweise die Masse der Atomkerne und wird vor allem in der Physik und (Bio-)Chemie für die Angabe von Atom- und Molekülmassen verwendet.

Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens).

<math>e = m_\mathrm e = \hbar = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 1\;\mathrm{a.u.}</math>.

Beispielsweise ist eine Masse von <math>2\ \mathrm{a.u.}</math> das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von

<math>1\;\mathrm{a.u.} = \frac{\hbar^2}{m \cdot e \cdot a_0^3}</math>

die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.

Die Lichtgeschwindigkeit hat den Wert <math>1/\alpha\approx 137\;\mathrm{a.u.}</math>, wobei <math>\alpha</math> die Feinstrukturkonstante ist. Mit CODATA 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten gelistet. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit <math>a_0</math> der Radius und die Zeiteinheit <math>\mathrm{a.t.u.} </math> die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit <math>E_\text{h}</math> die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.

Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die Schrödingergleichung. Zum Beispiel ergibt sich der Hamilton-Operator für ein Elektron im Wasserstoffatom zu:

• in SI-Einheiten:

<math>\hat H = - \frac{\hbar^2}{2 m_{\mathrm{e}}} \nabla^2 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}</math>

• in atomaren Einheiten:

<math>\hat H = - \frac{\nabla^2}{2} - \frac{1}{r}</math>

Atomare Einheiten für magnetische Größen

Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die magnetische Flussdichte <math>B</math>. Entweder gilt für eine elektromagnetischen Welle im Vakuum wie in SI-Einheiten <math>B=E/c</math> oder wie in gaußschen Einheiten <math>B=E</math>. Dabei bezeichnet <math>E</math> die elektrische Feldstärke und <math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das Bohrsche Magneton nur in SI-basierten atomaren Einheiten <math>1/2\;\mathrm{a.u.}\ </math> Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der Intensität einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.

Mit CODATA 2014 wurden insbesondere auch die Werte in SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte <math>B_\mathrm{au}=\hbar / (a_0^2e)</math>, der elektrischen Feldstärke <math>\vec E_\mathrm{au}=E_\mathrm h/(a_0e)</math>, der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{au}=c \alpha</math> und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. berechnet.

Siehe auch

• Planck-Einheiten
• natürliche Einheiten

Einzelnachweise

<references> <ref name="Hartree_1957"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Gold_Book_01"> {{#if: | {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} | Eintrag zu {{#if:trim|atomic units}}. In: IUPAC (Hrsg.): Compendium of Chemical Terminology. The “Gold Book”. {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}}{{#if: 2.1.6 |  – Version: 2.1.6}}.}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= 1= |opt= 2= Version= lang= Seiten= |cat= Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Gold Book |errNS= 0 |template= Vorlage:Gold Book }} </ref> <ref name="amu"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} Kapitel 4, Tabelle 7 </ref> </references>

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