Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index <math>D</math> ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrts funktionen.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter <math>\varepsilon</math> festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist <math>\varepsilon=0</math> bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

<math>A=A_\varepsilon=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_n)=

\begin{cases} 1 & \mbox{für}\ \varepsilon=0 \\ 1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)} & \mbox{für}\ \varepsilon >0 \land \varepsilon\neq1\\ 1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n} & \mbox{für}\ \varepsilon=1, \end{cases} </math>

wobei <math>y_{i}</math> das individuelle Einkommen (i = 1, 2, …, N) und <math>\mu</math> das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

Symmetrie in den Argumenten: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=A_\varepsilon(y_{\sigma(1)},\ldots,y_{\sigma(N)})</math> für alle Permutationen <math>\sigma</math>.
Der Index liegt zwischen Null und Eins. <math>0\leq A_1\leq 1</math> und <math> 0 \leq A_\varepsilon \leq 1-n^{-\epsilon} < 1</math> für alle <math>\varepsilon\neq 1</math>
Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = 0</math> gdw. <math>y_i = \mu</math> für alle <math>i</math>.
Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: <math>A_\varepsilon(\{y_1,\ldots,y_N\},\ldots,\{y_1,\ldots,y_N\})=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)</math>
Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = A_\varepsilon( ky_1,\ldots,ky_N)</math> für alle <math>k>0</math>
Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen.<ref>Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613-625, doi:10.2307/1913126.</ref> Es gilt

<math> A_\varepsilon(y_{g,i_g}: i_g=1,\ldots,n_g; g=1,\ldots,G) = \sum_{g=1}^G w_g A_\varepsilon( y_{g,1}, \ldots, y_{g,n_g}) + A_\varepsilon(\mu_1, \ldots, \mu_G) </math>, wobei <math>G</math> die Anzahl der Untergruppen angibt, <math>\mu_g</math> das Durchschnittseinkommen der Untergruppe <math>g</math>, und die Gewichte <math>w_g=f(\mu_g,\mu,N,N_g)</math> für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“<ref>„Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.</ref> mit <math>\varepsilon = 1</math> ergebenden Theil-Index <math>I_{1}</math> gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß<ref>Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.</ref> umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat.<ref>Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties (Memento vom 25. März 2009 im Internet Archive; PDF; 330 kB)</ref> Das Maß errechnet sich aus der Funktion <math>1 - e^{- T}</math>.

Siehe auch

Champernowne-Index

Literatur

Originalaufsatz:

Anthony B. Atkinson: On the Measurement of Inequality. In: Journal of Economic Theory. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.

Zur Vertiefung:

Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Unit 11: Measures of Inequality (Memento vom 31. Januar 2012 im Internet Archive; PDF; 3,34 MB)

Einzelnachweise