Artin-Gruppe
In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Diese besondere Klasse von Gruppe ist nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.
Definition
Eine Artin-Gruppe ist eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form
- <math>\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_1, x_2 \rangle^{m_{1,2}}=\langle x_2, x_1 \rangle^{m_{2,1}}, \ldots , \langle x_{n-1}, x_n \rangle^{m_{n-1,n}}=\langle x_{n}, x_{n-1} \rangle^{m_{n,n-1}} \Big\rangle</math>
mit
- <math>m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}</math>.
Für <math>m < \infty</math> bedeutet dabei <math>\langle x_i, x_j \rangle^m</math> das alternierende Produkt der Länge <math>m</math> von <math>x_i</math> und <math>x_j</math>, beginnend mit <math>x_i</math>. Also beispielsweise
- <math>\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i</math>
oder
- <math>\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j</math>.
<math>m_{ij}=\infty</math> bedeutet, dass es zwischen <math>x_i</math> und <math>x_j</math> keine Relationen gibt.
Spezialfälle
Zopf-Gruppen
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Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit
- <math>m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\ \forall i</math>
und
- <math>m_{i,j}=2\ \forall \mid i-j\mid >1</math>.
Rechtwinklige Artin-Gruppen
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Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit
- <math>m_{i,j}\in\left\{2,\infty\right\}</math>
für alle <math>i,j</math>. Sie spielen eine wichtige Rolle in der 3-dimensionalen Topologie.