arg max

Die Bezeichnung arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) wird in der Analysis und Optimierung verwendet, um anzugeben, an welchem Argument das Maximum einer gegebenen Funktion angenommen wird. Analog dazu wird arg min im Minimierungsfall benutzt. Für Optimierungsprobleme wird mit <math>{\operatorname{arg\,max}}_M f</math> auch der Optimalpunkt von <math>f</math> auf der Menge <math>M</math> bezeichnet.

Definition

Datei:Si sinc.svg

Die normierte und nicht-normierte sinc Funktion haben <math>\operatorname{argmax}</math> 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle x = 0 angenommen wird.

Ist <math>D</math> der Definitionsbereich einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> und <math>M\subseteq D</math> eine Teilmenge desselbigen, dann ist <math>{\operatorname{arg\,max}}_M</math> von <math>f</math> die Stelle <math>x_\mathrm{max}</math>, an der die Funktion ihr Maximum auf <math> M</math> annimmt, das heißt

<math> x_\mathrm{max}=\underset{x \in M}{\operatorname{arg\,max}}\,f(x) :\Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in M} f(x).</math>

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

Falls <math>M=D</math> gilt oder aus dem Kontext heraus klar ist, auf welche Menge <math>M</math> sich die Maximierung bezieht, schreibt man verkürzend auch nur <math>{\operatorname{arg\,max}} f</math>.

Beispiel

Die Funktion <math>f(x)=x(10-x)</math> besitzt den maximalen Wert <math>25</math>, der an der Stelle <math>x_\mathrm{max}=5</math> angenommen wird. Daher gilt

<math>\underset{x\in\R}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5.</math>

Alternative Definition

Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird <math>\arg\max</math> alternativ auch als mengenwertige Abbildung erklärt:

<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \le f(x)\} = f^{-1}\left( \max_{x \in D} f(x) \right)</math>

Analog dazu wird

<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,min}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \ge f(x)\} = f^{-1}\left(\min_{x \in D} f(x) \right)</math>

definiert.

Beispiel

<math>\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.</math>

Literatur

Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.