Arens-Produkt

Das Arens-Produkt, benannt nach Richard Arens, ist eine Konstruktion aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Genaugenommen handelt es sich dabei um zwei Produkte auf dem Bidualraum <math>A</math> einer Banachalgebra <math>A</math>, die das auf <math>A</math> gegebene Produkt fortsetzen, wenn man <math>A</math> vermöge der natürlichen Einbettung <math>A\rightarrow A</math> als Unterraum von <math>A</math> auffasst. Beide Produkte machen <math>A</math> zu einer Banachalgebra. Stimmen die beiden Produkte überein, so nennt man die Ausgangsalgebra <math>A</math> Arens-regulär.

Konstruktion

Erstes Arens-Produkt

Es sei <math>A</math> eine Banachalgebra, <math>A'</math> ihr Dualraum und <math>A</math> ihr Bidualraum. Wie üblich wird <math>A</math> vermöge der isometrischen Einbettung

<math>\Phi:A\rightarrow A,\, \Phi(a):= \Phi_a:A'\rightarrow \mathbb{K},\, \Phi_a(f):=f(a)</math>

als Unterraum von <math>A</math> aufgefasst. Die Konstruktion eines Produktes auf <math>A</math> erfolgt in drei Schritten:

Für <math>x\in A</math> und <math>f\in A'</math> wird <math>fx\in A'</math> definiert durch <math>(fx)(y) := f(xy), \, y\in A</math>.
Für <math>F\in A</math> und <math>f\in A'</math> wird <math>Ff\in A'</math> definiert durch <math>(Ff)(x) := F(fx),\, x\in A</math>.
Für <math>F,G\in A</math> wird <math>FG \in A</math> definiert durch <math>(FG)(f) := F(Gf),\, f\in A'</math>.

Die so definierte Verknüpfung <math>(F,G)\mapsto FG</math> auf <math>A</math> heißt das erste Arens-Produkt. Man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um eine assoziative Multiplikation handelt, die <math>A</math> zu einer Banachalgebra macht. Im Folgenden sei <math>A</math> stets mit dieser Multiplikation versehen. Die leicht nachzurechnende Formel <math>\Phi(ab)=\Phi(a)\Phi(b)</math> zeigt, dass dadurch das auf der Ausgangsalgebra gegebene Produkt fortgesetzt wird, wenn man <math>A</math> wie oben erwähnt als Teilmenge von <math>A</math> auffasst.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 10, Example 13 (v)</ref>

Zweites Arens-Produkt

Das zweite Arens-Produkt ergibt sich aus dem ersten, indem man obige Konstruktion auf die Gegenalgebra <math>A^{op}</math> anwendet und anschließend erneut zur Gegenalgebra übergeht, d. h. man bildet <math>((A^{op}))^{op}</math>. Auch das kann man wieder als eine dreistufige Konstruktion beschreiben:

Für <math>x\in A</math> und <math>f\in A'</math> wird <math>xf\in A'</math> definiert durch <math>(xf)(y) := f(yx), \, y\in A</math>.
Für <math>F\in A</math> und <math>f\in A'</math> wird <math>fF\in A'</math> definiert durch <math>(fF)(x) := F(xf),\, x\in A</math>.
Für <math>F,G\in A</math> wird <math>F\cdot G \in A</math> definiert durch <math>(F\cdot G)(f) := F(fG),\, f\in A'</math>.

Wieder ist hierdurch eine Multiplikation definiert, die diejenige von <math>A</math> fortsetzt und <math>A</math> zu einer Banachalgebra macht.

Arens-Regularität

Während das erste Arens-Produkt ohne Verknüpfungszeichen geschrieben wurde, haben wir zur Unterscheidung einen Punkt für das zweite Arens-Produkt gewählt. Schon Arens hat in der grundlegenden Arbeit<ref>R. Arens: The adjoint of a bilinear operation, Proceedings Amer. Math. Soc. Band 2 (1951), Seiten 839–848</ref> gezeigt, dass <math>FG=F\cdot G</math>, falls einer der Faktoren aus <math>A</math>, das heißt aus <math>\Phi(A)\subset A</math>, ist. Im Allgemeinen stimmen die beiden Arens-Produkte nicht überein. Das führt zu folgender Definition:

Eine Banachalgebra heißt Arens-regulär, wenn das erste und zweite Arens-Produkt auf <math>A</math> übereinstimmen, das heißt falls <math>FG=F\cdot G</math> für alle <math>F,G\in A</math>.

Eine Banachalgebra <math>A</math> ist genau dann Arens-regulär, wenn für jedes <math>f\in A'</math> der durch <math>T_f(a):= fa</math> definierte lineare Operator <math>T_f:A\rightarrow A'</math> schwach kompakt ist.<ref>S. L.Gulick: Commutativity and ideals in the biduals of topological algebras, Pacific J. Math. Band 18 (1966), Seiten 121–137 (kommutativer Fall)</ref><ref>J. Hennefeld: A note on the Arens Products, Pacific J. Math. Band 26 (1968), Seiten 115–119 (allgemeiner Fall)</ref>

Beispiele

Gruppenalgebren

Ist <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe, so ist die Gruppenalgebra <math>L^1(G)</math> genau dann Arens-regulär, wenn <math>G</math> endlich ist.<ref>N. J. Young: The Irregularity of Multiplication in Group Algebras, Quart. J. Math. Oxford, Band 24 (1973), Seiten 59–62</ref> Insbesondere ist die Faltungsalgebra <math>\ell^1(\Z)</math> ein Beispiel für eine nicht-Arens-reguläre Banachalgebra.

C*-Algebren

S. Sherman und Z. Takeda haben gezeigt, dass C*-Algebren stets Arens-regulär sind, dass sich die Involution der C*-Algebra auf den Bidual fortsetzt und dieser dadurch ebenfalls zu einer C*-Algebra wird, sogar zu einer Von-Neumann-Algebra.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 38, Theorem 19</ref> Weiter kann gezeigt werden, dass diese mit der einhüllenden Von-Neumann-Algebra übereinstimmt.

Eigenschaften

Approximation der Eins

Eine Banachalgebra <math>A</math> hat genau dann eine beschränkte rechts-Approximation der Eins, wenn <math>A</math> ein rechts-Einselement hat.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Satz 7</ref> Daraus folgt:

Eine Arens-reguläre Banachalgebra <math>A</math> hat genau dann eine beschränkte Approximation der Eins, wenn <math>A</math> ein Einselement hat.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Korollar 8</ref>

Kommutativität

Kommutativität vererbt sich nur im Falle der Arens-Regularität auf den Bidual. Ist <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra, so ist <math>A</math> genau dann kommutativ unter einem der Arens-Produkte, wenn <math>A</math> Arens-regulär ist.<ref>J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Satz 1</ref>

Vererbungseigenschaften

Es sei <math>A</math> eine Arens-reguläre Banachalgebra, <math>B\subset A</math> eine abgeschlossene Unteralgebra und <math>I\subset A</math> ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann sind auch <math>B</math> und <math>A/I</math> Arens-regulär.<ref>J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Korollar zu Theorem 1</ref>

Ist <math>K</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A</math> eine Banachalgebra, so ist die Banachalgebra <math>C(K,A)</math> der stetigen Funktionen <math>K\rightarrow A</math> mit den punktweise erklärten Verknüpfungen genau dann Arens-regulär, wenn <math>A</math> Arens-regulär ist.<ref>A. Ülger: Arens Regularity of the Algebra C(K,A), Journal London Mathematical Society, Band S2-42, Ausgabe 2 (1989), Seiten 354–364</ref> Aus der Arens-Regularität von <math>A</math> folgt also die Arens-Regularität des injektiven Tensorproduktes <math>C(K)\otimes_\varepsilon A</math>, denn letzteres stimmt mit <math>C(K,A)</math> überein. Das projektive Tensorprodukt Arens-regulärer Banachalgebren ist im Allgemeinen nicht wieder Arens-regulär.<ref>A. Ülger: Arens regularity of the algebra A⊗B, Trans. Amer. Math. Soc., Band 305 (1988), Seiten 623–639</ref>

Einzelnachweise