Absolut stetige Funktion

In der Analysis ist die absolute Stetigkeit einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft der Stetigkeit. Der Begriff wurde 1905 von Giuseppe Vitali eingeführt<ref name=Vitali_1984>Giuseppe Vitali: Opere sull'analisi reale e complessa. Edizioni Cremonese, Bologna 1984</ref><ref>Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 281.</ref> und erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue-Integralen.

Definition

Es sei <math>I \subset \R</math> ein endliches reelles Intervall und <math>f \colon I \to \Complex</math> eine komplexwertige Funktion auf <math>I</math>.

Die Funktion <math>f</math> heißt absolut stetig, falls es für jedes <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> gibt, so dass für jede endliche Folge paarweise disjunkter Teilintervalle <math>\{]x_k,y_k[\}_{1 \le k \le n}</math> von <math>I</math>, deren Gesamtlänge <math>\textstyle\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)\,<\delta</math> ist, gilt

<math>\sum_{k=1}^n \left|f(y_k)-f(x_k)\right| <\varepsilon.</math>

Beziehung zu anderen Stetigkeitsbegriffen

Absolut stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Die Umkehrung gilt nicht, so ist die Cantor-Funktion stetig, aber nicht absolut stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Absolute Stetigkeit von Maßen

Von besonderer Bedeutung für die Maßtheorie sind die reellwertigen absolut stetigen Funktionen. Es bezeichne <math>\lambda</math> das Lebesgue-Maß. Für monoton steigende reellwertige Funktionen <math>f \colon I = [a,b] \to \R</math> sind folgende Eigenschaften äquivalent:

Die Funktion <math>f</math> ist absolut stetig auf <math>I</math>.
Die Funktion <math>f</math> bildet <math>\lambda</math>-Nullmengen wieder auf Nullmengen ab, d. h. für alle messbare Mengen <math>A \subseteq I</math> gilt <math>\lambda(A) = 0 \implies \lambda(f(A)) = 0</math>.
Die Funktion <math>f</math> ist <math>\lambda</math>-fast überall differenzierbar, die Ableitungsfunktion <math>f' \in L^1(\lambda)</math> ist integrierbar und für alle <math>x \in I</math> gilt <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \ \mathrm d \lambda(t)</math>.

Daraus folgt ein enger Zusammenhang zwischen den absolut stetigen Funktionen und den absolut stetigen Maßen, dieser wird durch die Verteilungsfunktionen vermittelt.

Ein Maß <math>\mu</math> ist genau dann absolut stetig bzgl. <math>\lambda</math>, wenn jede Einschränkung der Verteilungsfunktion von <math>\mu</math> auf ein endliches Intervall <math>I \subset \R</math> eine absolut stetige Funktion auf <math>I</math> ist.

Zwei Maße nennt man äquivalent, wenn beide absolut stetig bezüglich einander sind

<math>\mu \sim \lambda \iff\mu \ll \lambda \wedge\lambda\ll \mu</math>.

Lebesgue-Integrale

Die absolut stetigen Funktionen finden auch Anwendung in der Integrationstheorie, sie dienen dort dazu den Fundamentalsatz der Analysis auf Lebesgue-Integrale auszudehnen. Jenseits der obigen Äquivalenz sind nämlich auch nicht-monotone absolut stetige Funktionen fast überall differenzierbar und es gilt <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f' \, \mathrm d \lambda</math>. Außerdem ist <math>f</math> schwach differenzierbar und die schwache Ableitung stimmt (fast überall) mit <math>f'</math> überein. Dies liefert tatsächlich eine Charakterisierung der Lebesgue-Integrierbarkeit, denn die folgende Umkehrung gilt ebenfalls für beliebige Funktionen:

Besitzt eine Funktion <math>f \colon I = [a,b] \to \R</math> eine integrierbare Ableitungsfunktion <math>f' \in L^1</math> und gilt für alle <math>x \in I</math>, dass <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \ \mathrm d \lambda(t)</math>, so ist <math>f</math> notwendig absolut stetig auf <math>I</math>.

Optimale Steuerung

In der Theorie der optimalen Steuerungen wird gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Einzelnachweise