Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge <math>U</math> eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von <math>U</math>.

Definition

Ist <math>X</math> ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss <math>\overline{U}</math> einer Teilmenge <math>U\subseteq X</math> der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von <math>X</math>, die <math>U</math> beinhalten. Die Menge <math>\overline{U}</math> ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von <math>U</math>.

Ein Punkt <math>b\in X</math> heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von <math>U</math>, wenn in jeder Umgebung von <math>b</math> mindestens ein Element von <math>U</math> enthalten ist. <math>\overline{U}</math> besteht genau aus den Berührpunkten von <math>U</math>.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt <math>X</math> das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn <math>X</math> ein metrischer Raum ist), so ist <math>\overline U</math> die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in <math>U</math> liegen.

Ist <math>X</math> ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge <math>U\subseteq X</math> die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in <math>U</math> liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei <math>X</math> ein metrischer Raum mit Metrik <math>d</math>. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle <math>\overline{B(x,r)}</math> einer offenen Kugel

mit Radius <math>r</math> und Mittelpunkt <math>x\in X</math> nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

<math>\overline{B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.</math>

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

<math>\overline{B(x,r)} \subseteq \overline{B}(x,r)</math>

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei <math>X</math> eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der die diskrete Metrik durch

<math>d(x,y)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{f\ddot ur}\ x\not=y\\

0&\mathrm{f\ddot ur}\ x=y\end{matrix}\right.</math> definiert ist. Dann gilt für jedes <math>x\in X</math>:

<math>\{x\} = B(x,1) = \overline{B(x,1)} \subsetneq \overline{B}(x,1) = X.</math>

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt <math>x</math> und einen Radius <math>r</math> beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

<math>B(x,r) \subsetneq \overline{B(x,r)} \subsetneq \overline{B}(x,r).</math>

Ein Beispiel ist die Menge

<math>X = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\}</math>

mit der vom euklidischen Raum <math>\mathbb{R}^2</math> induzierten Metrik. Hier erfüllt <math>x=(0,0),r=1</math> die angegebene Inklusionsbedingung:

<math>B(0,1) = \{(a,0)\mid a\in\mathbb{R},-1 < a < 1\} \subsetneq</math>

<math>\overline{B(0,1)} = \{(a,0)\mid a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \subsetneq</math>

<math>\overline{B}(0,1) = \{(a,0)\mid a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\} = X</math>

Siehe auch

Träger (Mathematik)

Literatur

Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.