Abbildungsgrad

Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen <math>f(x) = y</math> nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im Endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.

Der brouwersche Abbildungsgrad

Der brouwersche Abbildungsgrad, benannt nach L. E. J. Brouwer, ordnet einer stetigen Funktion <math>f\colon \overline{\Omega} \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> für offenes, beschränktes <math>\Omega</math> und gegebenes <math>y \in \mathbb{R}^n \setminus f(\partial\Omega)</math> eine ganze Zahl <math>d(f, \Omega, y)</math> zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung <math>f(x) = y</math> bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad <math>d(f, \Omega, y)</math> von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad <math>d(f, \Omega, y)</math>, so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.

Axiomatische Definition

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

<math>d\colon \{(f, \Omega, y)\ |\ \Omega \subset \mathbb{R}^n\ \mathrm{offen, beschr\ddot{a}nkt}\ ,\ f\colon \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n\ \textrm{stetig}\ ,\ y \in \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega)\} \rightarrow \mathbb{Z}</math>

mit den folgenden Eigenschaften:

<math>d(\mathrm{id}_{\overline{\Omega}}, \Omega, y) = 1</math> für alle <math>y \in \Omega</math>.
Zerlegungseigenschaft:

<math>d(f, \Omega, y) = d(f, \Omega_1, y) + d(f, \Omega_2, y)</math>, falls <math>\Omega_1, \Omega_2</math> disjunkte offene Teilmengen von <math>\Omega</math> sind, so dass <math>y \not\in f(\overline{\Omega}\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2))</math>.

Homotopieinvarianz:

<math>t \mapsto d(F(t,\cdot), \Omega, y(t))</math> ist bezüglich <math>t \in [0,1]</math> konstant, falls <math>F\colon [0,1] \times \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> und <math>y\colon [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n</math> stetig sind mit <math>y(t) \not = F(t, x)</math> für alle <math>t \in [0,1]</math> und <math>x \in \partial\Omega</math>.

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades

Ist <math>d(f,\Omega,y) \neq 0</math>, so ist die Gleichung <math>f(x)=y</math> auf <math>\Omega</math> lösbar.

Ist <math>g \in C(\bar{\Omega})</math> mit
<math style="margin-left:2em">\max\{|f(x)-g(x)|\, \colon x \in \partial \Omega\} < \mathrm{dist}(y, f(\partial\Omega)),</math>
so gilt <math>d(f,\Omega,y) = d(g,\Omega, y).</math>
Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf <math>\partial\Omega</math> eindeutig festgelegt.

Liegen <math>y_1</math> und <math>y_2</math> in derselben Zusammenhangskomponente <math>Z</math> von <math>\mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega)</math>, so gilt <math>d(f,\Omega,y_1) = d(f,\Omega, y_2).</math>
Man schreibt daher auch kurz <math>d(f,\Omega,Z)</math> für <math>d(f,\Omega,y)</math>, um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.

Seien <math>f\colon \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> und <math>g\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> stetig und <math>K_i</math> die beschränkten Zusammenhangskomponenten von <math>\mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega)</math> sowie <math>y \in \mathbb{R}^n \setminus (g\circ f)(\partial \Omega)</math>, dann gilt die leraysche Produktformel
<math style="margin-left:2em">d(g\circ f, \Omega ,y) = \sum_i d(f,\Omega, K_i)\cdot d(g, K_i, y),</math>
worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

Darstellungen des Abbildungsgrades

Falls <math>f</math> zusätzlich auf <math>\Omega</math> stetig differenzierbar ist und alle Punkte in <math>f^{-1}(y)</math> regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix <math>J(f)(x)</math> ist in diesen Punkten <math>x \in f^{-1}(y)</math> nicht null, so gilt
<math style="margin-left:2em">d(f,\Omega,y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right)\, .</math>
Ist <math>f</math> nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion <math>g \in C^1(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})</math> wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie <math>f</math> hat.
Sei <math>f \colon \overline{\Omega} \to \R^n</math> wieder stetig auf <math>\overline{\Omega}</math> und stetig differenzierbar auf <math>\Omega</math>, <math>y \notin f(\partial \Omega)</math> kein kritischer Punkt. Sei außerdem <math>(\phi_\epsilon)_{\epsilon > 0}</math> eine Schar stetiger Funktionen von <math>\R^n</math> nach <math>\R</math> mit <math>\operatorname{supp}(\phi_\epsilon) \subset \overline{K_\epsilon(0)}</math> und <math>\textstyle \int_{\R^n} \phi_{\epsilon}(x) \mathrm{d} x= 1</math> für alle <math>\epsilon > 0</math> wählen, hierbei bezeichnet <math>\overline{K_\epsilon(0)} \subset \R^n</math> den abgeschlossenen Ball vom Radius <math>\epsilon</math> um Null. Dann existiert ein <math>\epsilon_0(f,y)</math>, so dass die Integralformel
<math style="margin-left:2em">d(f, \Omega, y) = \int_\Omega \phi_\epsilon (f(x) - y) J(f)(x) \mathrm{d} x</math>
für alle <math>\epsilon \leq \epsilon_0(f,y)</math> gilt.

Umlaufzahl

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl <math>\operatorname{ind}</math>. Identifiziert man <math>\R^2</math> mit <math>\Complex</math>, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve <math>\gamma \colon [0,1] \to \Complex</math> kann man als stetiges Bild von <math>\mathbb{S}(0)</math> verstehen. Mit <math>\mathbb{S}(0) \subset \Complex</math> wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung <math>f \colon \mathbb{S}(0) \to \operatorname{Bild}(\gamma)</math>. Ist nun <math>a\notin \gamma = f(\mathbb{S}(0))</math>, so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck <math>d(f,K_1(0),a)</math> für alle stetigen Fortsetzungen von <math>f</math> dieselbe Zahl. Es gilt nun

<math>

d(f,K_1(0),a) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(S^+_x)} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(\mathbb{S}(0))} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \operatorname{ind}(f(S) , a), </math>

hierbei bezeichnet <math>S^+_x</math> einen genügend kleinen Kreisring um <math>x</math>. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.<ref>Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.</ref> Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.

Kompakte Störungen der Identität

Seien <math>X, Y</math> Banachräume und <math>M</math> eine Teilmenge des Banachraums <math>X</math>. Eine Funktion <math>K\colon M \rightarrow Y</math> heißt kompakter Operator, falls

<math>K</math> stetig ist und, falls
<math>K</math> beschränkte Mengen <math>B \subset M</math> auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten, <math>\overline{T(B)}</math> ist eine kompakte Teilmenge von <math>Y</math>.

Ein Operator <math>F \colon M \subset X \rightarrow X</math>, der sich als <math>F = \operatorname{Id} - K</math> mit einem kompakten Operator <math>K</math> darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Kompakte Homotopie

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei <math>M \subset X</math> offen und beschränkt und <math>K\colon t \mapsto K(t)</math> für <math>t \in [0, 1]</math> eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren <math>K(t)\colon M \subset X \rightarrow X</math>. Diese operatorwertige Funktion <math>K</math> heißt kompakte Homotopie auf <math>M</math>, falls zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta>0</math> existiert, sodass

<math>\|K(t_1)(x) - K(t_2)(x)\|_X \leq \varepsilon</math>

für alle <math>x \in M</math> und <math>t_1, t_2 \in [0, 1]</math> mit <math>|t_1-t_2| < \delta</math> gilt.

Definition

Sei <math>F = \operatorname{Id} - K \colon \overline{M} \subset X \rightarrow X</math> eine kompakte Störung der Identität, <math>M \subset X</math> offen und beschränkt und <math>y \not\in F(\partial M)</math>. Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl <math>d(F, M, y) \in \mathbb{Z}</math>, so dass folgende Eigenschaften gelten:

Ist <math>d(F, M, y) \neq 0</math>, dann ist die Gleichung <math>F(x) = y</math> lösbar.

Homotopieinvarianz: Ist <math>K</math> eine kompakte Homotopie auf <math>\overline{M}</math> mit <math>K(t)(x) \neq x</math> für alle <math>t \in [0, 1]</math> und <math>x \in \partial M</math>, so ist der Abbildungsgrad <math>d((\operatorname{Id}-K)(t), M, y)</math> unabhängig von <math>t \in [0, 1]</math>.

Beispiel

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung <math>x - F_0(x) x = y</math> eine Lösung in <math>\overline{\Omega}</math> hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass <math>F_0</math> ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass <math>x - F_0(x) \neq y</math> auf <math>\partial\Omega</math> gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie <math>H</math> mit <math>H(1) = F_0</math> und <math>x - H(t)(x) \neq y</math> für alle <math>t \in [0, 1]</math> und <math>x \in \partial \Omega</math>. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad <math>d(I-H(0), \Omega, y) \neq 0</math> nachweisen kann. Daraus folgt nämlich <math>d(I-H(t), \Omega, y) \neq 0</math> für alle <math>t \in [0, 1]</math> und somit die Existenz eines <math>x \in \Omega</math> mit <math>x - F_0(x) x = y</math>.

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

für <math> t \in [0,a]</math> und <math>x(0) = x_0</math> gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls <math>f \colon [0,a] \times \R^n \to \R^n</math> stetig ist und falls <math>|f(t,x)| \leq B(1 + |x|)</math> auf <math>[0,a] \times \R^n</math> für ein geeignetes <math>B \geq 0</math> gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

<math>x(t) = x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau</math>

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man <math>X = C([0,a])</math> als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall <math>[0,a]</math> mit der Maximumsnorm <math>\textstyle \|x\| = \max_{t \in [0,a]} |x(t)|</math>. Außerdem setzt man

<math>F_0(x)(t) := x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau\,.</math>

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist <math>F_0</math> ein kompakter Operator und <math>H(t)(x) := t\cdot F_0(x)</math> eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von <math>x - F_0(x) = 0</math> untersucht wird, wird <math>y = 0</math> gesetzt. Da <math>|f(t,x)| \leq B(1 + |x|)</math> vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, <math>\Omega := B_r(0)</math> mit einem <math>r > (|x_0| + B \cdot a)e^{-Ba}</math> zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.

Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten

Sei

<math>f\colon M\rightarrow N</math>

eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)

Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen

<math>H_n(M,\Z)\cong \Z, H_n(N,\Z)\cong \Z</math>.

Der von f induzierte Homomorphismus

<math>f_*\colon H_n(M,\Z)\rightarrow H_n(N,\Z)</math>

ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.

Literatur

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Einzelnachweise