ω-konsistente Theorie

In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, falls sie keine Existenzaussage beweisen kann, wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann.

Definition

Sei T eine Theorie, die die Arithmetik interpretiert, das bedeutet, dass jeder natürlichen Zahl n ein Term der Sprache zugeordnet werden kann, der im Folgenden mit <math>\dot{n}</math> bezeichnet werde. T heißt ω-konsistent, falls es keine Formel <math>\phi(x)</math> gibt, sodass sowohl <math>\exists x\phi(x)</math> als auch für jede natürliche Zahl n <math>\neg\phi(\dot{n})</math> beweisbar ist. Formal:

<math>\text{T ist }\omega\text{-konsistent }\leftrightarrow\text{ Es gibt keine Formel }\phi(x)\text{, so dass T}\vdash\exists x\phi(x)\text{ und für jede natürliche Zahl n: T}\vdash\neg\phi(\dot{n})</math>

Eine ω-konsistente Theorie ist automatisch konsistent, umgekehrt gibt es aber konsistente Theorien, die nicht ω-konsistent sind, s. Beispiel.

Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien

Ist eine Theorie T rekursiv axiomatisierbar, dann kann man nach einem Resultat von C. Smoryński die ω-Konsistenz wie folgt charakterisieren:<ref>Craig Smoryński: Self-reference and modal logic, in: The Journal of Symbolic Logic, 53:1 (1988), Seite 306–309. Springer, Berlin 1985.</ref>

T ist ω-konsistent genau dann wenn <math>T+\mathrm{RFN}_T+\mathrm{Th}_{\Pi^0_2}(\mathbb N)</math> konsistent ist.

Hier bezeichnet <math>\mathrm{Th}_{\Pi^0_2}(\mathbb N)</math> die Menge aller Π⁰₂-Sätze, welche im Standardmodell der Arithmetik gültig sind. <math>\mathrm{RFN}_T</math> ist das uniforme Reflexionsprinzip für T, welches aus den Axiomen

<math>\forall x\,(\mathrm{Prov}_T(\varphi(\dot x))\to\varphi(x))</math>

für jede Formel <math>\varphi</math> mit einer freien Variable besteht.

Insbesondere ist eine endlich axiomatisierbare Theorie T in der Sprache der Arithmetik ω-konsistent genau dann wenn T+PA <math>\Sigma^0_2</math>-korrekt ist.

Beispiel

Bezeichne PA die Theorie der Peano-Arithmetik und Con(PA) sei diejenige arithmetische Aussage, die die Behauptung PA ist konsistent formalisiert. Meist wird Con(PA) von folgender Gestalt sein:

Für jede natürliche Zahl n: n ist nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 in PA (d. h., es gibt keinen Beweis des Widerspruchs 0=1)

Auf Grund von Gödels Unvollständigkeitssatz wissen wir, dass, falls PA konsistent ist, auch PA+¬Con(PA) konsistent sein muss. PA+¬Con(PA) ist jedoch nicht ω-konsistent aus folgendem Grund: Für jede natürliche Zahl n beweist bereits PA, dass n nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist, also beweist PA+¬Con(PA) dies sicher auch. Jedoch beweist ¬Con(PA) auch, dass es eine natürliche Zahl m gibt, so dass m die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist (die ist nämlich gerade die Aussage ¬Con(PA) selber).

Einzelnachweise