Äquivalenz (Matrix)
Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der <math>m \times n</math>-Matrizen.
Definition
Zwei Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> heißen äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung
- <math>f\colon \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m</math> gibt und es Basen <math>B_1, B_2</math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_1, C_2</math> von <math>\mathbb{K}^m</math> gibt, so dass
- <math>A ={}_{B_1}M(f)_{C_1} </math> und
- <math>B ={}_{B_2}M(f)_{C_2} </math> gelten,
d. h., <math> A </math> ist eine Darstellung von <math>f</math> bezüglich der Basen <math>B_1 </math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_1 </math> von <math>\mathbb{K}^m</math>, und <math> B </math> ist eine Darstellung von <math>f</math> bezüglich der Basen <math>B_2 </math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_2</math> von <math>\mathbb{K}^m</math>.
Äquivalente Aussage
Zur Aussage „die <math>m \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> sind äquivalent über dem Körper <math>K</math>“ ist folgende Aussage äquivalent:
- Es gibt eine invertierbare <math>m \times m</math>-Matrix <math>S</math> und eine invertierbare <math>n \times n</math>-Matrix <math>T</math> über <math>K</math>, so dass <math>B = SAT</math> gilt.
Aussagen über äquivalente Matrizen
- Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
- Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.
Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen
Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.
Literatur
- Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163
Siehe auch
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Equivalent Matrix. In: MathWorld (englisch). {{#if: EquivalentMatrix | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | EquivalentMatrix | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}