Ägyptische Zahlschrift
Die ägyptische Zahlschrift (auch ägyptische Ziffern oder Zahlzeichen genannt) ist eine seit Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. bezeugte hieroglyphische Zahlschrift, mit der positive rationale Zahlen (ganze und gebrochene) additiv geschrieben wurden. In ihrer Weiterentwicklung zur hieratischen Zahlschrift traten ab Mitte des 3. Jahrtausends an die Stelle dieser Zahlenhieroglyphen hieratische Kursivzeichen mit einer Vereinfachung des Prinzips additiver Zeichenwiederholung.
Hieroglyphische Zahlschrift
Natürliche Zahlen
Die Ägypter benutzten ein dezimales Zahlensystem, in dem es für jede Zehnerpotenz von 1 bis 1.000.000 ein eigenes Zeichen gab.
-
1
Strich
𓏤 -
10
Rindsgespann
𓎆 -
100
Seilschlinge
𓍢 -
1.000
Wasserlilie
𓆼 -
10.000
Finger
𓂭
Eine beliebige natürliche Zahl (positive ganze Zahl) schrieb man mit möglichst großen, der Größe nach geordneten Zehnerpotenzen, die man jeweils so oft angab, bis man mit deren Gesamtsumme die Zahl erhielt.<ref>Alan Gardiner: Egyptian Grammer: being an introduction to the study of hieroglyphs. 3., überarbeitete Ausgabe. Griffith institute / Ashmolean museum, Oxford 1979, ISBN 0-900416-35-1, S. 191–192.</ref> Die Aussprache der Zahlen kann heute nur teilweise rekonstruiert werden, da in Inschriften meist nur die Zahlzeichen erscheinen, so ist es nicht mit Sicherheit bekannt, wie Zehner und Einer kombiniert ausgesprochen wurden (fünfundzwanzig). Die wichtigen Zahlen lauten:
| Wert | Hieroglyphe | Hieratisch | Name | Umschrift | Aussprache | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | <hiero>Z1</hiero> | 𓏤 | Datei:Hieratic symbols for 1.png | <hiero>T21:a</hiero> | wˁ– (w / it) | wa |
| 2 | <hiero>Z1*Z1</hiero> | 𓏮 | Datei:Hieratic symbols for 2.png | <hiero>T22</hiero> | sn– (wy / ty) | senu |
| 3 | <hiero>Z1*Z1*Z1</hiero> | 𓏦 | Datei:Hieratic symbols for 3.png | <hiero>Aa1:D52-X1</hiero> | ḫmt– (w / t) | chemet |
| 4 | <hiero>Z1*Z1:Z1*Z1</hiero> | 𓏽 | Datei:Hieratic symbols for 4.png | <hiero>I9:D46</hiero> | fd– (w / t) | fedu |
| 5 | <hiero>Z1*Z1*Z1:Z1*Z1</hiero> | 𓏾 | Datei:Hieratic symbols for 5.png | <hiero>D46</hiero> | dỉ– (w / t) | diu |
| 6 | <hiero>Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1</hiero> | 𓏿 | Datei:Hieratic symbols for 6.png | <hiero>S29-M17-S29</hiero> | sỉs– (w / t) | seresu |
| 7 | <hiero>Z1*Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1</hiero> | 𓐀 | Datei:Hieratic symbols for 7.png | <hiero>S29-I9:Aa1</hiero> | sfḫ– (w / t) | sefech |
| 8 | <hiero> Z1*Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1*Z1</hiero> | 𓐁 | Datei:Hieratic symbols for 8.png | <hiero>Aa1-Y5:N35</hiero> | ḫmn– (w / t) | chemenu |
| 9 | <hiero>Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1</hiero> | 𓐂 | Datei:Hieratic symbols for 9.png | <hiero>Q3-S29-I10</hiero> | psḏ– (w / t) | pesedj |
Höhere Zahlen
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| medj | djebaty (unsicher) | maba | hem | diyu | ser | sefech | chemen | pesdjeyu | schet |
| 𓎆 | 𓎇 | 𓎈 | 𓎉 | 𓎊 | 𓎋 | 𓎌 | 𓎍 | 𓎎 | 𓍢 |
| Datei:Num aeg hierog 0000010 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000020 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000030 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000040 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000050 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000060 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000070 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000080 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000090 L2R 80px.svg | Datei:Num aeg hierog 0000100 L2R 40px.svg |
Beispiele
Beispiel für die Zahl 27.529
- zwei Zehntausenderzeichen: 𓂮
- sieben Tausenderzeichen: 𓇂
- fünf Hunderterzeichen: 𓍦
- zwei Zehnerzeichen: 𓎇
- und neun Einerzeichen: 𓐂
| Im 2. Jahrhundert v. Chr. wurde am Horus-Tempel in Edfu eine Inschrift angebracht, in der die Flächen von Tempelländereien berechnet wurden. Nach heutiger, jedoch nicht sicherer Interpretation wurden dabei vier- und dreieckige Parzellen nach einer allgemeinen Formel für Vierecke aus den Seitenlängen ungefähr berechnet, bei dreieckigen Parzellen setzte man für die vierte Seite die Hieroglyphe <hiero>D35</hiero> („nichts“).<ref>Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin u. a. 1984, ISBN 3-540-11647-8, S. 58–60.</ref> |
Ein Zeichen für „nicht vorhanden“ ist zwar ein logischer Fortschritt gegenüber der kommentarlosen Notierung von entweder vier oder nur drei Seitenlängen, aber etwas anderes als die Verwendung einer Null in der Notierung eines Zahlenwertes über von 10 oder darüber mittels eines Stellenwertsystems.
Bruchzahlen
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Der Ägyptologe Georg Möller behauptete 1911, er habe bei seinen Forschungen eine bildliche Notation der ersten sechs binären Stammbrüche entdeckt. Diese würden als Elemente des Horusauges geschrieben. Die Summe der Bruchzahlen ergibt 63⁄64.
Um die Division vollständig durchführen zu können, verwendeten die Ägypter gemeine Brüche natürlicher Zahlen,<ref>K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Band I. Paderborn 1958, S. 44 f.</ref> die sie durch Summen von Stammbrüchen, d. h. Brüche mit dem Zähler 1, sowie vom Bruch 2/3 darstellten.<ref>K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Band I. Paderborn 1958, S. 37 ff.</ref> Die Brüche gingen ursprünglich auf kleinere Maßeinheiten zurück.
- Brüche: <hiero>D21</hiero> r, rȝ (D21) Bruchzeichen: Mund,
- <hiero>D22-.-D23</hiero> rȝwy 2/3, ḫmt-rȝw 3/4
- Brüche 1/n: <hiero>-D21:Z1*Z1- 1/2, -D21:Z1*Z1*Z1- 1/3, -D21:V20- 1/10, -D21:V1- 1/100, -D21:M12- 1/1000 -</hiero>
- Flächen und Volumen:
- <hiero>D11 1/2, D12 1/4, D13 1/8, D14 1/16, D15 1/32, D16 1/64 </hiero>
- Landwirtschaftliche Brüche:<hiero>D43</hiero>1/2 eines setat, <hiero>Z9</hiero> 1/4 eines setat, <hiero>G39</hiero> 1/8 eines setat, ...
Allgemeine Stammbrüche wurden geschrieben,<ref>K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Band I. Paderborn 1958, S. 34 f.</ref> indem man den Nenner unter das Bildzeichen des Mundes schrieb, das auch das Getreidemaß Ro (320 Ro = 1 Heqat) bedeutete und hieratisch mit einem Punkt, demotisch mit einem schrägen Strich abkürzt wurde, wobei aber der Nenner 2 für 2/3 benutzt wurde und für 1/2 nahm man das Bildzeichen der Hälfte. Zur Vereinfachung der Bruchrechnung legten die Ägypter Tabellen von Stammbruchzerlegungen allgemeiner Brüche an und benutzten Hilfszahlen, die den Zählern der heutigen Bruchrechnung entsprachen.<ref>K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Band I. Paderborn 1958, S. 35 ff.</ref> In Anlehnung an die ägyptische Form werden Stammbrüche in lateinischer Umschrift heute durch den überstrichenen Nenner wiedergegeben und 2/3 durch eine doppelt überstrichene 3.
| 2/3 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | … | 1/9 | 1/10 | 1/11 | 1/12 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>\overline{\overline3}</math> | <math>\overline2</math> | <math>\overline3</math> | <math>\overline4</math> | … | <math>\overline9</math> | <math>\overline{10}</math> | <math>\overline{11}</math> | <math>\overline{12}</math> | … |
| <hiero>D22</hiero> | <hiero>Aa13</hiero> | <hiero>r</hiero> <hiero>Z1-Z1-Z1</hiero> |
<hiero>r</hiero> <hiero>Z1-Z1-Z1-Z1</hiero> |
… | <hiero>r</hiero> <hiero>Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1:Z1*Z1*Z1</hiero> |
<hiero>r</hiero> <hiero>V20</hiero> |
<hiero>r</hiero> <hiero>V20-Z1</hiero> |
<hiero>r</hiero> <hiero>V20-Z1-Z1</hiero> |
… |
So wurde z. B. 5/12 wie folgt geschrieben:
| <hiero>D21:Z1*Z1*Z1-D21:V20*Z1*Z1</hiero> | <math>= \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}</math> |
Hatte der Nenner zu viele Ziffern, so wurde der Mund nur über die vorderen Ziffern des Nenners gesetzt:
| <hiero>D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1</hiero> | <math>= \frac{1}{331}</math> |
Hieratische und demotische Zahlschrift
Für den alltäglichen Gebrauch waren die Hieroglyphen jedoch zu umständlich zu schreiben, so trat neben sie schon ab Mitte des 3. Jahrtausends v. Chr. als ihre vereinfachte Form die hieratische Schrift. Wiederholungen von Zahlzeichen wurden dabei jeweils zu einem einzigen Zeichen zusammengezogen. Im Ergebnis stand mit vier Zeichen für die Zehnerpotenzen 1, 10, 100 und 1000 sowie 32 (4 mal 8) Zeichen für deren Vervielfachungen ein System von insgesamt 36 Zahlzeichen für die Schreibung der Zahlen 1 bis 9999 zur Verfügung. Durch den Wegfall der Zeichenwiederholung ließ sich auf diese Weise eine vierstellige Zahl als Folge von maximal vier hieratischen Zahlzeichen statt maximal 36 hieroglyphischen Zeichen schreiben. Ab der Mitte des 7. Jahrhunderts v. Chr. fand eine weitere Vereinfachung zur demotischen Schrift statt. In Gebrauch blieben die hieratischen und die demotischen Zahlzeichen, bis sie in hellenistischer Zeit durch die griechischen Zahlen abgelöst wurden.
Siehe auch
Literatur
- Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. (Übersetzung aus dem Französischen von Alexander von Plasen, Redaktion Peter Wanner) Sonderausgabe der 2. Auflage, Parkland, Köln 1998, ISBN 3-88059-956-4, S. 230 ff., S. 265 ff.
- Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik. Band I: Vorgeschichte und Ägypten (= Mathematische Studienhefte, Nr. 1). Schroedel, Hannover; Schöningh, Paderborn 1958.
Weblinks
- Daniel A. Werning: Digitale Einführung in die hieroglyphisch-ägyptische Schrift und Sprache. §66: Zahlen. Humboldt-Universität zu Berlin, 26. Juli 2018; abgerufen am 10. November 2020.
Einzelnachweise
<references />
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