Distanzmatrix
Die Distanzmatrix<ref>Reiner Hellbrück: Angewandte Statistik mit R. 3. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-12861-6, S. 201 (springer.com).</ref> (auch Entfernungsmatrix<ref>Udo Bankhofer: Quantitative Unternehmensplanung. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-8348-2465-3, S. 155.</ref><ref>Harald Nahrstedt: Algorithmen für Ingenieure. 3. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-19298-3, S. 214.</ref>) ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die die Abstände zwischen Punkten einer Menge angibt. In der Chemie zeigt sie die Anzahl der Bindungen zwischen den Atomen eines Moleküls an. Die Distanzmatrix beschreibt damit einen wichtigen Aspekt der Topologie einer chemischen Verbindung. Das Molekül wird dabei als ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten betrachtet. Die Bindungsordnungen werden somit ignoriert, eine Distanzmatrix unterscheidet nicht zwischen Einfach- und Mehrfachbindungen.
Beispiel
3-Ethylhexan mit nummerierten Atomen
(3-Ethylhexan)
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| Atom | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 3 | 4 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 4 | 5 |
| 7 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 8 | 4 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 0 |
In kompakter mathematischer Darstellung (ohne die Atomnummern) werden die Eigenschaften deutlicher:
<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 \end{bmatrix} </math>
Die Distanzmatrix ist symmetrisch. Da der Graph ungerichtet ist, ist der Abstand von Atom 1 zu Atom 2 gleich dem Abstand von Atom 2 zu Atom 1.
Verwendung
Die Distanzmatrix wird bei der Berechnung topologischer Deskriptoren wie dem Wiener-Index und, in modifizierter Form, dem Balaban-J-Index verwendet.
Zur Berechnung kann der Min-Plus-Matrixmultiplikations-Algorithmus, der Algorithmus von Floyd und Warshall oder der Dijkstra-Algorithmus angewandt auf jeden Knoten verwendet werden.
Einzelnachweise
<references />