Laplace-Formel
Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> eines Ereignisses <math>A</math>:
- <math>P(A) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis } A \text{ eintritt}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}</math>
oder formeller
- <math>P(A) = \frac{\left| A \right|}Vorlage:\left</math>,
wenn <math>|A|</math> und <math>|\Omega|</math> die Anzahl der Elemente des Ereignisses <math>A</math> bzw. der Ergebnismenge <math>\Omega</math> bezeichnen.
Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).
Beispiele und Gegenbeispiele
Roulette
Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit <math>p=\tfrac{1}{37}</math> ausgespielt.
Ziehen aus einer Urne
Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit <math>n</math> gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit <math>p=\tfrac{1}{n}</math> gezogen.
Doppelwurf eines Spielwürfels
Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen
- <math>\Omega = \{(i,j) \mid i,j = 1,\dotsc,6\}</math>.
Gleichwahrscheinliche Ereignisse
Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist
- <math>P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}</math>
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses <math>A</math>, die Augensumme 9 zu erhalten.
Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse
Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.<ref name="honsberger">Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131</ref>
Es sei <math>p_i</math> die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl <math>i</math> und <math>q_i</math> die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl <math>i</math> geworfen wird. Dann ist <math>p_1 q_1</math> die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und <math>p_6 q_6</math> die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.
Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten <math>\tfrac{1}{11}</math> betragen.
Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:
- <math>\frac{1}{11}=p_1 q_6 + p_2 q_5 + p_3 q_4 + p_4 q_3 + p_5 q_2 +p_6 q_1</math>
- <math>\geq p_1 q_6 + p_6 q_1 = p_1 q_6 \left( \frac{q_1}{q_1} \right) + p_6 q_1 \left( \frac{q_6}{q_6} \right) = p_1 q_1 \left( \frac{q_6}{q_1} \right) + p_6 q_6 \left( \frac{q_1}{q_6} \right)</math>
- <math>= \frac{1}{11} \left( \frac{q_6}{q_1} \right) + \frac{1}{11} \left( \frac{q_1}{q_6} \right) = \frac{1}{11} \left( \frac{q_6}{q_1} + \frac{q_1}{q_6} \right)</math>
- <math>\Leftrightarrow \frac{q_6}{q_1} + \frac{q_1}{q_6} \leq 1</math> (*)
Wegen <math>x + \frac{1}{x} \geq 2</math> für alle reellen Zahlen <math>x>0</math> ergibt sich ein Widerspruch zu (*).
Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.Geschlecht eines neugeborenen Kindes
Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.<ref name="bosch">Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21</ref>
Siehe auch
Literatur
- Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
Einzelnachweise
<references />