Epigraph (Mathematik)

Der Epigraph einer Funktion

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

<math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, f(x)\le \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}</math>

Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math> versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung <math> \preccurlyeq_K </math>, so ist der Epigraph definiert als

<math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R}^n \, : \, f(x)\preccurlyeq_K \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}^n</math>.

Eigenschaften

Datei:Epigraph convex.svg

Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge

Sei <math>X</math> ein normierter <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum. Für Funktionen <math>f \colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:

<math>f</math> ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von <math>f</math> eine konvexe Menge bildet.
<math>f</math> ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von <math>f</math> eine abgeschlossene Menge bildet.
<math>f</math> ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von <math>f</math> eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist.
Ist <math>f</math> eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in <math>X</math>.

Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math>, so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

Siehe auch

Hypograph

Literatur

Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.

Weblinks

Commons: Epi- und Hypographen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien