Eulersche Vermutung

Die Eulersche Vermutung aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die Fermatsche Vermutung. Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt, während die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde.

Vermutung

Die Eulersche Vermutung besagt, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen <math>a_1, a_2, \dotsc, a_k</math> der Gleichung <math>a_1^n + a_2^n + \dotsb + a_{k-1}^n = a_k^n</math> gibt, wenn <math>n</math> und <math>k</math> ganze Zahlen sind mit <math>n \geq k \geq 3</math>. Fermat bewies angeblich die Vermutung für <math>n \geq k = 3</math> (Fermatsche Vermutung), veröffentlichte aber nur einen Beweis für <math>n = 4</math> und <math>k = 3</math>. Euler gab für <math>n = k = 3</math> einen Beweis an, siehe Großer Fermatscher Satz, für größere <math>n</math> und <math>k</math> konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

Widerlegungen

Fall n = 5

Für den Fall <math>n = 5</math> fanden L. J. Lander und T. R. Parkin 1966 ein Gegenbeispiel:<ref>L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 72, 1966, S. 1079.</ref>

Fall n = 4

Für <math>n = 4</math> fand Noam Elkies 1988 folgendes Gegenbeispiel:<ref>Noam Elkies: On <math>A^4+B^4+C^4=D^4</math>. In: Math. Comput. Band 51, 1988, S. 825–835.</ref>

Elkies bewies zudem, dass es für <math>n = 4</math> unendlich viele Lösungen gibt.

Die kleinste Lösung für <math>n = 4</math> lautet

<math>95.800^4 + 217.519^4 + 414.560^4 = 422.481^4</math>.

Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.<ref>Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A. K. Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5, S. 232. </ref><ref>Ivars Peterson: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Euler’s Sums of Powers. (Memento vom 1. Dezember 2012 im Internet Archive) In: ScienceNews, 2004.</ref>

Literatur

Leonhard Euler: Resolutio formulae Diophanteae ab(maa + nbb) = cd(mcc + ndd) per numeros rationales. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 13 (1796), S. 45–63, online – Internet Archive.
Georg Ehlers: Solution of the Diophantine equation ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) using rational numbers. Euleriana: 3(2), S. 81–123 (2023), DOI:10.56031/2693-9908.1041. Neuausgabe und englische Übersetzung von Eulers Originalarbeit.
Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0.
Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A K Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5.

Weblinks

Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities.
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers. EulerNet
Jaroslaw Wroblewski: Equal Sums of Like Powers.
Eric W. Weisstein: Euler’s Sum of Powers Conjecture. In: MathWorld (englisch).
Ivars Peterson: Euler’s Sums of Powers. In: ScienceNews, 2004, Seite nicht mehr abrufbar, Archivlink abgerufen am 1. März 2022

Einzelnachweise