Burkholder-Ungleichung

Die Burkholder-Ungleichung (auch Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichung) ist eine Ungleichung aus der Stochastik. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der Größenordnung eines Martingals und seiner quadratischen Variation her. Benannt wurde sie nach Donald Burkholder, der Professor an der University of Illinois war.

Formulierung

Es sei <math>M</math> ein stetiges lokales Martingal mit <math>M_0=0\;</math>, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t), P)\ </math>. Dann existieren zu jedem <math>p>0\;</math> Konstanten <math>c_p, C_p\;</math>, so dass für jedes <math>t>0\;</math>

<math>c_p E[\langle M,M\rangle_t^{\frac p2}] \leq E[\sup_{s \leq t} |M_s|^p] \leq C_p E[\langle M,M\rangle_t^{\frac p2}]</math>

gilt. Dabei bezeichnet <math>\langle M,M\rangle_t\;</math> die quadratische Variation von <math>M</math>.

Verwendung

Die Burkholder-Ungleichung ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Herleitung von Grenzwertsätzen für stochastische Prozesse.

Literatur

• D. L. Burkholder: Martingale transforms. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 37, Nr. 6, 1966, S. 1494–1504, doi:10.1214/aoms/1177699141 .
• M. Beiglböck, J. Sieorpaes: Pathwise versions of the Burkholder–Davis–Gundy inequality. In: Bernoulli. Band 21, Nr. 1, 2015, S. 360–373, doi:10.3150/13-BEJ570