Begleitmatrix

Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix, die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra.

Definition

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms <math>n</math>-ten Grades <math> f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0</math> über einem Körper ist die quadratische <math>n \times n</math>-Matrix.<ref>Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349. </ref>

<math>A(f) = \begin{pmatrix}

0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & -a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix}.</math>

Manchmal wird auch die transponierte Matrix von <math>A(f)</math> verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Eigenschaften

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von <math>A(f)</math> sind gerade <math>f</math>. Andererseits ist eine <math>n\times n</math>-Matrix <math>A</math> ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von <math>A</math> genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von <math>A</math> identisch sind.<ref>Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref>

Hat das Polynom <math>f</math> genau <math>n</math> verschiedene Nullstellen <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math>, dann ist <math>A(f)</math> diagonalisierbar: <math>V A(f) V^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math> für die Vandermonde-Matrix <math>V = V(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math>.

Hiervon gilt sogar die Umkehrung, das heißt, eine Begleitmatrix <math>A(f)</math> ist genau dann diagonalisierbar, wenn <math>f</math> genau <math>\mathrm{grad}(f)</math> verschiedene Nullstellen hat.

Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist genau dann zyklisch durch einen Endomorphismus erzeugt, wenn eine Basis des Vektorraums existiert bezüglich der die Darstellende Matrix des Endomorphismus die Form einer Begleitmatrix hat.<ref>Kenneth Hoffman, Ray A. Kunze: Linear algebra. 2. ed Auflage. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J 1971, ISBN 978-0-13-536797-1. </ref>

Im Falle der ebenfalls gebräuchlichen Definition des charakteristische Polynoms als <math>\chi_A = \operatorname{det}(A_f {-} \lambda E_n)</math>, ist das Solche von <math>A(f)</math> durch <math>(-1)^n f</math> gegeben. Der Beweis erfolgt durch Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte, wobei sich das Ergebnis von der Normierten Definition des charakteristischen Polynoms nach der Multilinearität der Determinante um den Faktor <math>(-1)^n</math> unterscheidet:

Sei <math>B := A_f-\lambda E_n</math>. Dann gilt

<math>\chi_A = \operatorname{det}(B) = \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname{det}(\acute{B}_{in})</math>

Für alle <math>i \in \{1,...,n\}</math> ist <math>\acute{B}_{in}</math> in Blockgestalt, also

<math>\acute{B}_{in} = \begin{pmatrix} C_i & 0 \\ 0 & D_i \end{pmatrix}</math> mit <math>C_i =\begin{pmatrix} -\lambda & & & 0 \\ 1 & -\lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ 0 & & 1 & -\lambda\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(i-1,K)</math> ,<math>D_i =\begin{pmatrix} 1 & -\lambda & & 0 \\ & 1 & \ddots & \\ & & \ddots & -\lambda\\ 0 & & & 1\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(n-i,K)</math>

Mit dem Satz über Determinanten von Blockmatrizen und Diagonalmatrizen folgt

<math>\operatorname{det}(\acute{B}_{in}) = \operatorname{det}({C}_{i}) \cdot \operatorname{det}({D}_{i}) = (-\lambda)^{i-1}</math>

Also gilt

<math>\begin{align}

\chi_A &= \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname{det}(\acute{B}_{in}) \\ &= \left(\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{n+i}(-a_{i-1})\cdot (-\lambda)^{i-1}\right) +(-1)^{2n}(-a_{n-1}-\lambda)\cdot(-\lambda)^{n-1} \\ &= \left(\sum_{i=1}^n(-1)^n(a_{i-1})\cdot \lambda^{i-1}\right) + (-1)^n \cdot \lambda^n \\ &= (-1)^n \left(\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\lambda^i\right) + \lambda^n \right) \\ &= (-1)^n \cdot f \\ \end{align} </math>

Anwendung

Begleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf. Die Existenz der Frobenius-Normalform besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

Einzelnachweise

<references />

Literatur

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.