Polynomrestfolge

Eine Polynomrestfolge entsteht durch wiederholte Division mit Rest zweier Polynome. Falls es sich um Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper handelt, liefert zum Beispiel der euklidische Algorithmus eine solche Folge. Im allgemeineren Fall von Polynomen mit Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring muss jedoch der Dividend mit einer geeigneten Konstante multipliziert werden, um die Division mit Rest durchführen zu können (Pseudodivision).

Polynomrestfolgen werden in der Computeralgebra zur Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome eingesetzt. Das dort auftretende Problem, dass die Koeffizienten der Polynome exponentiell anwachsen, wird durch das Subresultantenverfahren gelöst.

Definition

Für zwei Polynome <math>f,g \in R[x]</math>, <math>g \not = 0</math>, mit Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring <math>R</math> ist gibt es stets Polynome <math>q, r\in R[x]</math>, so dass

<math> \mathrm{lc}(g)^{\mathrm{deg}(f)-\mathrm{deg}(g)+1}f \,=\, qg + br</math> und <math>\mathrm{deg}(r) \,<\, \mathrm{deg}(g)</math>

gilt; dabei bezeichnet <math>\mathrm{lc}(g)</math> den Leitkoeffizienten von <math>g</math>. Dabei wird <math>r</math> als Pseudorest und <math>q</math> als Pseudoquotient bezeichnet (Pseudodivision, s. Donald Knuth, Abschnitt 4.6.1), und wir schreiben

<math>r = \mathrm{prem}(f,g)</math>.

Polynome <math>f</math> und <math>g</math> heißen ähnlich, in Zeichen <math>f \sim g</math>, falls es <math>a,b\in R</math> gibt mit

Eine Folge <math>p_0, p_1,\ldots,p_n</math> von Polynomen heißt Polynomrestfolge, falls

<math>p_{i+2} \ \sim \ \mathrm{prem}(p_i, p_{i+1})</math>

für <math>k = 0,\ldots,n-2</math> sowie

<math>\mathrm{prem}(p_{n-1},p_n) = 0</math>

gelten.

Spezielle Restfolgen

Pseudo-Polynomrestfolge

Zu Polynomen <math>p_0, p_1</math> liefert

<math>p_{k+2} := \mathrm{prem}(p_k,p_{k+1})</math>

eine Polynomrestfolge, die Pseudo-Polynomrestfolge genannt wird. In der Praxis hat sie den Nachteil, dass die Koeffizienten der Polynome <math>p_k</math> exponentiell anwachsen.

Primitive Polynomrestfolge

Dividiert man ein Polynom durch seinen Inhalt, so erhält man ein Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind (primitiver Anteil des Polynoms, ppart). Dies führt zur Folge

<math>p_{k+2} := \mathrm{ppart}(\mathrm{prem}(p_k,p_{k+1})),</math>

die primitive Polynomrestfolge genannt wird. Um diese Folge zu berechnen, sind allerdings ggT-Berechnungen im Koeffizientenring <math>R</math> erforderlich, die in der Praxis viel Rechenzeit in Anspruch nehmen.

Subresultantenfolge

In der Praxis wird üblicherweise die durch

<math>p_{k+2} := \frac{\mathrm{prem}(p_k,p_{k+1})}{g_k \cdot h_k^{\delta_k}}</math>

definierte Folge eingesetzt. Dabei ist

<math>\delta_k := \mathrm{deg}(p_k) - \mathrm{deg}(p_{k+1})</math>

und <math>g_k</math> und <math>h_k</math> sind durch

<math>g_{k+1} := \mathrm{lc}(p_{k+1})</math>

<math>h_{k+1} := h_k^{1-\delta_k}g_{k+1}^{\delta_k}</math>

definiert. Alle dabei vorkommenden Divisionen gehen auf, und die Koeffizienten der so definierten Polynome wachsen wesentlich langsamer als bei der Pseudo-Polynomrestfolge.

Eigenschaften

Das letzte Glied <math>p_n</math> einer Polynomrestfolge ist ähnlich zum größten gemeinsamen Teiler der Polynome <math>p_0</math> und <math>p_1</math>:

<math>p_n \ \sim \ \mathrm{ggT}(p_0, p_1).</math>

Polynomrestfolgen können daher zur ggT-Berechnung in Polynomringen eingesetzt werden.

Literatur

W. S. Brown, Joseph F. Traub: On Euclid’s Algorithm and the Theory of Subresultants. In: Journal of the ACM. Band 18-4, Oktober 1971, S. 505–514.
Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. 3. Auflage. Vol. II: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, 1998.
Rüdiger Loos: Generalized Polynomial Remainder Sequences. In: Bruno Buchberger, G. E. Collins, Rüdiger Loos (Hrsg.): Computer Algebra. Springer, 1982.
Attila Pethő: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 978-3-528-06598-0.
Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1.