Gemeinlot
Das Gemeinlot ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus der analytischen Geometrie. Zu zwei Geraden bezeichnet es eine Gerade oder Strecke, die sowohl Lot der einen als auch Lot der anderen Gerade ist, also „gemeinsames“ Lot ist. Somit schneidet das Gemeinlot die beiden Geraden im rechten Winkel, wodurch es auch häufig definiert wird.<ref>Kurt Peter Müller: Raumgeometrie. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12397-5, S. 15.</ref><ref>Arens et al.: Mathematik. 2023, S. 721.</ref><ref>Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Lineare Algebra. 1. Aufl. 2020. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-61339-9.</ref>
Verlaufen die beiden Geraden parallel zueinander, so gib es unendlich viele Gemeinlote, die durch Translation in der Richtung der beiden Geraden auseinander hervorgehen. Die Länge jedes dieser Gemeinlote entspricht dann dem Abstand der beiden Geraden. Sie sie hingegen windschief zueinander, so ist das Gemeinlot eindeutig bestimmt; in diesem Fall ist es (als Strecke aufgefasst) die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden, und seine Länge definiert den Abstand zwischen den beiden Geraden.<ref name=":0">Arens et al.: Grundwissen Mathematikstudium. 2021, S. 249.</ref>
Berechnung der Lotfußpunkte
Im dreidimensionalen Raum seien zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben durch die Parametergleichungen
- <math>g\colon \ \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{v} \quad</math>und <math>
\quad h\colon \ \vec{x} = \vec{b} + \mu \vec{w}</math>.
Das Gemeinlot ist festgelegt durch die Lotfußpunkte <math>F_g</math> und <math>F_h</math>, also seinen Schnittpunkten mit der Gerade <math>g</math> bzw. <math>h</math>. Zur Bestimmung von <math>F_h</math> stellt man eine Hilfsebene <math>E</math> auf, die den Punkt <math>A</math> enthält und von <math>\vec v</math> und einem Normalenvektor <math>\vec n</math> von <math>g</math> und <math>h</math> (z. B. <math>\vec n = \vec v \times \vec w</math>) aufgespannt wird:
- <math>E\colon \ \vec x = \vec a + \lambda \vec v + \nu \vec n</math>.
Der Lotfußpunkt <math>F_h</math>ist dann der Schnittpunkt von <math>E</math> und <math>h</math> (siehe Abbildung), was auf die Vektorgleichung
- <math>\vec{a} + \lambda \vec{v} + \nu \vec{n} = \vec{b} + \mu \vec{w}.</math>
in den Unbekannten <math>\lambda</math>, <math>\mu</math> und <math>\nu</math> führt. Diese Gleichung ist äquivalent zu einem linearen Gleichungssystem, das sich nach den drei Unbekannten auflösen lässt. Einsetzen der Lösung für <math>\mu</math> in die Gleichung der Geraden <math>h</math> liefert den Ortsvektor von <math>F_h</math>. Analog erhält man den Lotfußpunkt <math>F_g</math> als Schnittpunkt der Ebene<math>E'\colon \ \vec x = \vec b + \mu \vec w + \nu \vec n</math> und der Geraden <math>g</math>.
Durch Bildung von Skalarprodukten lassen sich die Parameterwerte <math>\mu</math> und <math>\lambda</math> der Lotfußpunkte explizit angeben. Für <math>\mu</math> wird die oben stehende Vektorgleichung beidseitig mit dem Vektor <math>\vec n_1 = \vec v \times (\vec v \times \vec w) </math> skalarmultipliziert:
- <math>\vec{a}\cdot \vec n_1 + \lambda \vec{v}\cdot \vec n_1 + \nu \vec{n} \cdot \vec n_2= \vec{b}\cdot \vec n_1 + \mu \vec{w}\cdot \vec n_1.</math>
Wegen <math>\vec v \cdot \vec n_2 = \vec n \cdot \vec n_2 = 0 </math> folgt hieraus
- <math>\mu = \frac{\vec a \cdot \vec n_2-\vec b \cdot \vec n_2}{\vec w \cdot \vec n_2}.</math>
Eine Gleichung für <math>\lambda</math> erhält man auf analoge Weise: Dazu wird die Vektorgleichung für <math>F_g</math> mit <math>\vec n_2 = \vec w \times (\vec v \times \vec w)</math> skalarmultipliziert und nach <math>\lambda</math>.
Siehe auch
Literatur
- Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Grundwissen Mathematikstudium. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 249–250.
- Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmut Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 721–723.
- M. Jeger, B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967.
- Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7.
- Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0.
- Elisabeth und Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie. Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2.
Einzelnachweise
<references />