Bonsesche Ungleichung

Die Bonsesche Ungleichung ist ein Satz über das Wachstum der Primzahlen. Sie besagt, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt der kleineren Primzahlen. Gefunden und veröffentlicht wurde die Ungleichung von dem Münsteraner Studenten Bonse im Jahr 1907.<ref>H. Bonse: Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung. In: Archiv der Mathematik und Physik. Band 3, 1907, S. 292–295. </ref> Einem breiten Publikum nahegebracht wurde sie durch das populärwissenschaftliche Mathematikbuch Von Zahlen und Figuren<ref>Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren. Proben mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik. Springer-Verlag 2000, ISBN 3-540-63303-0</ref> der beiden Mathematiker Hans Rademacher (1892–1969) und Otto Toeplitz (1881–1940).

Formal: Wenn <math>(p_n)_{n=1,\ldots}</math> die Folge der Primzahlen bezeichnet, dann gilt für alle <math>n\geq 5</math>:

<math>{p_n}^2 < p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdots p_{n-1}=2\cdot3\cdot5\cdots p_{n-1}</math>.

Für <math>n\leq 4</math> gilt diese Ungleichung nicht. Es ist also

<math>{4 = 2^2 > 1 } </math>

<math>{9 = 3^2 > 2 = 2 } </math>

<math>{25 = 5^2 > 2 \cdot 3 = 6 } </math>

<math>{49 = 7^2 > 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 } </math>

---

<math>{121 = 11^2 < 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 } </math>

<math>{169 = 13^2 < 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310} </math>

<math>{289 = 17^2 < 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030 } </math>

usw.

Mit der Ungleichung lässt sich zeigen, dass <math>30</math> die größte Zahl ist, die die Eigenschaft besitzt, dass alle zu ihr teilerfremden Zahlen <math>\leq 30</math> Primzahlen oder <math>1</math> sind. Diese sind hier im Speziellen: <math>1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29</math>.<ref>James Victor Uspensky, M.A. Heaslet: Elementary Number Theory. 1. Auflage. McGraw-Hill, 1939, ISBN 978-0-07-066750-1, S. 87–89. </ref>

Verschärfungen

Wie Rademacher und Toeplitz bemerken, gibt es bessere Ergebnisse als die Bonsesche Ungleichung; wie etwa eine von Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow gefundene Ungleichung, welche besagt, dass eine jede Primzahl kleiner als das Doppelte der jeweiligen Vorgängerprimzahl ist. Doch lassen sich diese besseren Ergebnisse nur mit kraftvollen Mitteln der höheren Mathematik beweisen, während Bonse für den Beweis seiner Ungleichung allein elementare Mittel benötigte.

Eine noch stärkere Einschränkung sagt sogar eine Primzahl zwischen zwei Quadratzahlen voraus. Dies ist als Legendresche Vermutung bekannt, die jedoch bisher nicht bewiesen werden konnte.

Mathematische Anwendungen

Robert J. Betts beschrieb im Jahr 2007, wie man mit Hilfe der Bonseschen Ungleichung Aussagen über die Größe von Primzahllücken bekommen kann, die zwar nicht so stark wie andere bekannte Abschätzungen sind, aber auf einfachere Art und Weise herzuleiten sind.<ref> Abrufbar unter Journal of Integer Sequences – Volume 10, 2007. Abgerufen am 21. März 2020 (). </ref>

Einzelnachweise

<references />