Fresnel-Integral
Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.
Definition
Die beiden Integrale
- <math>
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t
=\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi}
</math> heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.
Geschichte
Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale
- <math>
\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\cos(2at^2)\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1 </math> und
- <math>
\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\sin(2at^2)\,\mathrm{d}t =
\frac{a\,\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1.
</math>
Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik
Sie spielen eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:
- <math>\mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j \mathrm{d}\xi\,.</math>
Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante <math>\mathcal{N}</math> ist
- <math>\mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}</math>,
<math>j</math> ist eine ganze natürliche Zahl. Für <math>j=0</math> ist das Integral
- <math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi</math>
und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.
Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch
- <math>\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}</math> und
- <math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha)\,.</math>
Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von <math>\alpha</math>, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit <math>\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}</math> und <math>-1=e^{i\pi}</math> und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals
- <math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,.</math>
Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.
Literatur
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-59075-7, S. 178 f.
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 47.
