Faktorregel

Die Faktorregel<ref>Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331. </ref><ref>Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394. </ref><ref name=":0" /> ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form <math>f(x)=k\cdot u(x)</math>, wobei <math>k</math> eine reelle Zahl und <math>u(x)</math> eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

<math>(k\cdot u)'=k \cdot u'</math>.

Der konstante Faktor <math>k</math> bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Aussage

Ist eine Funktion <math>u</math> an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar und <math>k</math> eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = k \cdot u(x)</math> an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar, und es gilt

Beispiel

Die Funktion <math>f(x)=5x^2</math> setzt sich aus <math>u(x)=x^2</math> und dem konstanten Faktor <math>k=5</math> zusammen. Es ist <math>u'(x)=2x</math> und mit der Faktorregel folgt

<math>f'(x)=5\cdot 2x = 10x</math>.

Herleitungen

Datei:Faktorregel-Veranschaulichung.svg

Geometrische Herleitung der Faktorregel: Alle Steigungsdreiecke werden in vertikaler Richtung um den Faktor <math>k</math> gestreckt.

Algebraische Herleitung

Sei <math>u</math> eine von <math>x</math> abhängige Funktion und die Funktion <math>f</math> das <math>k</math>-fache von <math>u</math>, das heißt <math>f=k\cdot u</math>. Ändert sich die unabhängige Variable um <math>\Delta x</math>, so ändert sich <math>u</math> um <math>\Delta u</math> und <math>f</math> entsprechend um das <math>k</math>-fache, das heißt es ist <math>\Delta f = k \cdot \Delta u</math>. Hieraus folgt, indem man durch <math>\Delta x</math> teilt, die Gleichung

<math>\frac{\Delta f}{\Delta x} = k \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}</math>.

Lässt man nun <math>\Delta x \to 0</math> gehen, so erhält man die Faktorregel.<ref>G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org). </ref>

Geometrische Herleitung

Der Graph von <math>f=k \cdot u </math> geht aus dem Graphen von <math>u</math> durch Streckung in <math>y</math>-Richtung um den Streckfaktor <math>k</math> hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in <math>y</math>-Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der <math>y</math>-Kathete ver-<math>k</math>-facht, während die <math>x</math>-Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver-<math>k</math>-fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.<ref>Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208. </ref><ref>Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f. </ref>

Beweis

Sei <math>u(x)</math> bei <math>x_0</math> differenzierbar und <math>f(x)=k\cdot u(x)</math>. Dann konvergiert <math display="inline">\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}</math> für <math>x \to x_0</math> gegen <math>u'(x_0)</math>. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch <math display="inline">k\cdot\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}</math> für <math>x \to x_0</math>, und zwar gegen <math>k \cdot u'(x_0)</math>. Damit folgt

<math>\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x \to x_0} \frac{k\cdot u(x)-k \cdot u(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}k\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}=k \cdot u'(x_0).</math><ref name=":0">Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167.</ref>

Siehe auch

Literatur

Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.

Einzelnachweise