Sylvestermatrix

In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Definition

Seien <math>R</math> ein kommutativer Ring sowie <math>f</math> und <math>g</math> zwei Polynome

<math>f = \sum_{i=0}^m f_i X^i = f_0 + f_1 X + \cdots + f_m X^m \quad</math> und <math>\quad g = \sum_{i=0}^n g_i X^i = g_0 + g_1 X + \cdots + g_n X^n</math>

aus dem Polynomring <math>R[X]</math> mit den Graden <math>\deg(f) = m \ge 1</math> und <math>\deg(g) = n \ge 1</math>.

Dann heißt die quadratische <math>(m+n)</math>-Matrix<ref>Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004, S. 4 (semanticscholar.org). </ref>

<math>\operatorname{Syl}(f,g)=

\begin{pmatrix} f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & f_m & f_{m-1} & \cdots & f_1 & f_0 \\ g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & g_n & g_{n-1} & \cdots & g_1 & g_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_1(f) \\ \vdots \\ S_n(f) \\ S_1(g) \\ \vdots \\ S_m(g) \end{pmatrix} </math> die Sylvestermatrix zu <math>f</math> und <math>g</math>. Die <math>S_i(P)</math> stehen für eine Zeile der Matrix mit Koeffizienten des Polynoms <math>P \in \{f,g\}</math>.

Für das Polynom <math>f</math> mit <math>\deg(f)+1</math> Koeffizienten gibt es <math>n=\deg(g)</math> Zeilen mit verschobenen Koeffizienten, weil <math>n+m-(\deg(f)+1)=n-1</math> Einträge in einer Zeile jeweils mit <math>0</math> gefüllt sind. Daraus folgt: Die erste Zeile, die ganz links in der Matrix beginnt, kann insgesamt <math>n-1</math> mal nach rechts verschoben werden.

Beispiel: Seien <math>\deg(f)=4</math> und <math>\deg(g)=3</math>, dann ist die Sylvestermatrix

<math>\operatorname{Syl}(f,g)=

\begin{pmatrix} f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 \\[1mm] g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & g_3 & g_2 & g_1 & g_0 \end{pmatrix}</math>

Eigenschaften

Die trunkierte Sylvester-Matrix <math>M_{ji}</math> wird verwendet, um den Grad des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome <math>f</math> und <math>g</math> zu bestimmen.

Für <math>0 \leq i \leq j \leq \min(m,n)</math> entsteht <math>M_{ji}</math> aus der Sylvestermatrix durch folgende Schritte<ref>Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004 (semanticscholar.org). </ref>

Man behält die ersten <math>m-j</math> Zeilen von <math>f</math>-Koeffizienten,
Man behält die ersten <math>n-j</math> Zeilen von <math>g</math>-Koeffizienten,
Man behält die ersten <math>m+n-2j</math> Spalten

<math>

M_{ji}=\begin{pmatrix} f_m & & \cdots & & & f_0 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & & & & & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & f_m & & & & & f_0 \\ 0 & 0 & 0 & f_m & & & & f_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & f_m & \cdots & f_j \\ g_n & & \cdots & & & g_0 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & & & & & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & g_n & & & & & g_0 \\ 0 & 0 & 0 & g_n & & & & g_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & g_n & \cdots & g_j \\ \end{pmatrix} </math>

<math>M_{ij}</math> ist dann eine <math>(m+n-2j)\times (m+n-2j)</math>-Matrix.

Das Polynom

<math>S_j(f,g) = \sum_{i=0}^j \left(\det M_{ji}\right) \, X^i</math>

ist dann die <math>j</math>-te Subresultante von <math>f</math> und <math>g</math>; ihr Leitkoeffizient

<math>\operatorname{psc}_j(f,g) = \det M_{jj}</math>

ist der <math>j</math>-te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der <math>0</math>-te Hauptsubresultantenkoeffizient

<math>\operatorname{res}(f,g) = \det \operatorname{Syl}(f,g)</math>

schließlich ist die Resultante von <math>f</math> und <math>g</math>.

Bedeutung

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von <math>\operatorname{ggT}(f,g)</math> für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste <math>k \geq 0</math> mit <math>\operatorname{psc}_k(f,g) \neq 0</math>.

Einzelnachweise