Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix <math>A</math> existiert also eine reguläre Matrix <math>S</math>, sodass <math>D = S^{-1}AS</math> eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus <math>f\colon V\to V</math> über einen endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math>, falls es eine Basis <math>B</math> von <math>V</math> gibt, sodass die Darstellungsmatrix <math>M_B(f)</math> eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition

Eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix <math>S \in K^{n \times n}</math>, sodass <math>D : = S^{-1}AS</math> eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass <math>D</math> die Form

<math>D = S^{-1}AS = \begin{pmatrix}

 \lambda_1 & \ast & \cdots & \ast \\ 
 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ast \\
 0 & \cdots & 0 & \lambda_n

\end{pmatrix} \in K^{n \times n}</math>

hat, wobei <math>\lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_n \in K</math> Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus <math>f\colon V\to V</math> über einen endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math> heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis <math>B</math> von <math>V</math> gibt, sodass die Darstellungsmatrix <math>M_B(f)</math> eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

Die Matrix <math>A</math> ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix <math>D</math> und eine invertierbare Matrix <math>P</math> mit <math>D = P^{-1}AP</math>.
Das charakteristische Polynom der Matrix <math>A</math> zerfällt über dem Körper <math>K</math> in Linearfaktoren.
Das Minimalpolynom der Matrix <math>A</math> zerfällt über dem Körper <math>K</math> in Linearfaktoren.
Die Matrix <math>A</math> besitzt über dem Körper <math>K</math> eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über <math>\mathbb{C}</math> trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix <math>D</math> zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix <math>P</math>, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

Des Weiteren haben <math>A</math> und <math>D</math> dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von <math>A</math> in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert <math>\lambda_1</math> und einen zugehörigen Eigenvektor <math>v_1</math>. Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> des <math>K^n</math> ergänzt. Die Matrix <math>T_1</math> sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich <math>T_1^{-1}AT_1</math> berechnen und die Form

<math>T_1^{-1}AT_1 = \begin{pmatrix}

 \lambda_1 & d_{1,2} & \cdots & d_{1,n} \\ 
 0         &         &        &         \\
 \vdots    &         &   A_1  &         \\
 0         &         &        &         \end{pmatrix}</math>

Für das charakteristische Polynom der <math>(n-1)\times(n-1)</math>-Matrix <math>A_1</math> gilt <math>p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)p_{A_1}</math>. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und <math>A_1</math> ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man <math>A_{n-1} = d_{n,n}</math> berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix <math>D</math>. Die Matrix <math>P</math> ergibt sich als Produkt <math>T_1 T_2 \dots T_{n-1}</math> der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch

Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>
Diagonalisierbare Matrix

Weblinks

Wikiversity: Eine Vorlesung über trigonalisierbare Abbildungen – Kursmaterialien

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.