Index (Gruppentheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition

Es sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine Untergruppe. Dann sind die Menge <math>G/U</math> der Linksnebenklassen und die Menge <math>U\backslash G</math> der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von <math>U</math> in <math>G</math> und wird mit <math>(G : U)</math>, manchmal auch <math>[G : U]</math> oder <math>|G : U|</math>, bezeichnet.

Eigenschaften

• Es gilt <math>(G : 1)=|G|</math>. (Dabei bezeichnet <math>|G|</math> die Ordnung von <math>G</math>.)
• Der Index ist multiplikativ, d. h. ist <math>U</math> eine Untergruppe von <math>G</math> und <math>V</math> eine Untergruppe von <math>U</math>, so gilt

  <math>(G : V)=(G : U)\cdot(U : V).</math>

• Der Spezialfall <math>V=1</math> wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:

  Für eine Gruppe <math>G</math> und eine Untergruppe <math>U</math> gilt:

  <math>|G| = (G : U)\cdot|U|.</math>

  Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

  <math>(G : U) = \frac{|G|}{|U|}</math>

  berechnen.

• Ist <math>N\vartriangleleft G</math> ein Normalteiler, so ist der Index von <math>N</math> in <math>G</math> gerade die Ordnung der Faktorgruppe <math>G/N</math>, also

  <math>(G : N)=\left|G/N\right|</math>.

• Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
• Allgemeiner: Ist <math>U</math> eine Untergruppe von <math>G</math> und <math>p > 1</math> ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung <math>|G|</math> ist, dann ist <math>U</math> ein Normalteiler in <math>G</math>.

Topologische Gruppen

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

• Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
• Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch

• Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.<ref>Hungerford (1989), S. 89</ref>
• In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.<ref>Hungerford (1989), S. 247</ref>

Literatur

Index in der Gruppentheorie:

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff. 

In topologischen Gruppen:

Einzelnachweise

<references />