Trouton-Noble-Experiment

Mit dem Trouton-Noble-Experiment versuchten Frederick Thomas Trouton und Henry R. Noble im Jahr 1903, den Bewegungszustand der Erde relativ zum Äther auf eine andere Art als beim Michelson-Morley-Experiment zu messen. Der negative Ausgang des Experiments war neben dem Michelson-Morley-Experiment eins der wichtigsten Gegenargumente gegen die Äthertheorie und wurde damit zu einer frühen Bestätigung der speziellen Relativitätstheorie. Es wurde mehrmals mit demselben Resultat wiederholt (vgl. Tests der speziellen Relativitätstheorie).

Damit zusammenhängend sind weitere Paradoxien im Gebiet der Statik bekannt, beispielsweise das „Trouton-Noble-Paradoxon“ oder „Winkelhebelparadoxon“, die erst in der Relativitätstheorie aufgelöst wurden. Wie im Trouton-Noble-Experiment geht es dabei darum, ob durch den Wechsel des Bezugssystems ein Drehmoment oder gar eine messbare Rotation in einem statischen System vorhergesagt wird.

Das Trouton-Noble-Experiment wurde von Joseph Larmor angeregt, der die Erklärung des Michelson-Morley-Experiments durch Längenkontraktion als Bestätigung seiner eigenen Theorie der Elektrodynamik sah, was aber von William Mitchinson Hicks 1901 angegriffen wurde. Larmor trat daraufhin in Kontakt zu George Francis FitzGerald (dieser plante ein ähnliches Experiment mit einem Kondensator-Pendel) und nach dessen Tod zu dessen Schüler Trouton.<ref>Andrew Warwick: The sturdy protestants of science: Larmor, Trouton and the earth's motion through the ether, in: Jed Z. Buchwald (Hrsg.), Scientific Practice, University of Chicago Press 1995, S. 300–344</ref>

Trouton-Noble-Experiment

Datei:Trouton–Noble experiment.png

Schematischer Aufbau des Trouton-Noble-Experiments.

Bei diesem Versuch wurde ein geladener Plattenkondensator an einem dünnen Draht so aufgehängt, dass die Platten parallel zum Draht lagen und der ganze Kondensator wie bei einer Drehwaage durch Einwirken eines Drehmoments aus der Ruhelage ausgelenkt wird. Ein solches Drehmoment sollte, im Einklang mit der Äthertheorie, allein dadurch entstehen, dass der Kondensator gegenüber dem Äther eine Geschwindigkeit <math>v \ne 0</math> hat. Dann repräsentiert jede geladene Kondensatorplatte einen Strom, dessen Magnetfeld <math>B</math> auf die andere Platte eine Lorentz-Kraft <math>F</math> ausübt. So entsteht ein Kräftepaar mit einem Drehmoment

<math>\tau=-E'\frac{v^{2}}{c^{2}}\sin2\alpha'</math>

(<math>E'</math>: elektrostatische Feldenergie im Kondensator; <math>c</math>: Lichtgeschwindigkeit; <math>\alpha'</math>: Winkel zwischen der senkrechten Verbindungslinie der beiden Platten und der Geschwindigkeit <math>v</math>).

Dieses Ergebnis stimmt mit der aus der speziellen Relativitätstheorie folgenden Erwartung überein, dass die Experimentalanordnung gemäß dem Relativitätsprinzip als in einem Inertialsystem ruhend betrachtet werden kann, und folglich auch kein positives Ergebnis auftreten kann.

Dies muss auch für alle anderen Inertialsysteme gelten, da eine Lorentz-Transformation (welche die Koordinaten der Inertialsysteme miteinander verbindet) das Ergebnis nicht verändert. Jedoch erwies sich deren Anwendung auf statische und dynamische Probleme als recht schwierig, und es wurden unterschiedliche Modelle vorgeschlagen um das „Trouton-Noble-Paradoxon“ (ob nämlich ein Drehmoment in relativ bewegten Inertialsystem auftritt oder nicht) zu lösen.

Winkelhebelparadoxon

Datei:Right-angle lever paradox (diagram).png

<math>\tau'=L'_{0}\left(f'_{x}-f'_{y}\right)=0.</math>

Wird dies hingegen aus einem relativ zur x-Achse bewegten System betrachtet, so schrumpft bc aufgrund der Längenkontraktion und ba ist länger als bc. Das Hebelgesetz ergibt in diesem Fall:

<math>\tau=f_{x}\cdot L'_{0}-f_{y}\cdot L'_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=L'_{0}\left(f_{x}-f_{y}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)>0</math>

Das Drehmoment ist in diesem Bezugssystem nicht null, was den Winkelhebel scheinbar in Rotation versetzen müsste. Da dies aber aufgrund der Drehimpulserhaltung nicht der Fall sein kann, schlossen Lewis und Tolman, dass kein Drehmoment vorliegt. Folglich schlossen sie:

woraus sich stattdessen

ergibt. Angewendet auf das Hebelgesetz ergibt sich folgendes Drehmoment:

was prinzipiell dasselbe Problem beschreibt wie beim Trouton-Noble-Paradoxon.

Lösungen

Die detaillierte relativistische Analyse dieser Paradoxien erfordert eine sorgfältige Berücksichtigung der relevanten Kräfte und Impulse. Dafür wurden verschiedenen Ansätze vorgelegt, die allesamt darin übereinstimmen, dass keine Rotation eintritt.<ref name="jan">Janssen (1995), siehe „Literatur“</ref>

Laue-Strom

Die erste Lösung des Trouton-Noble-Paradoxons wurde durch Hendrik Antoon Lorentz (1904) gegeben. Sie beruht auf der Annahme, dass Impuls und Drehmoment der elektrostatischen Kräfte kompensiert werden durch Impuls und Drehmoment der molekularen Bindungskräfte.<ref>Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt. In: Otto Blumenthal, Arnold Sommerfeld (Hrsg.): Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen. 1904, S. 6–26. </ref>

Dies wurde von Max von Laue (1911) fortgeführt, der die Standardlösung für dieses Paradoxon gab. Sie basierte auf der „Trägheit der Energie“, wonach durch elastische Spannungen ein Energiefluss erzeugt wird, der ebenfalls mit einem Impuls ausgestattet ist („Laue-Strom“). Das resultierende (mechanische) Drehmoment im Falle des Trouton-Noble-Experiments ist

<math>\tau=E'\frac{v^{2}}{c^{2}}\sin2\alpha'</math>

und im Falle des Winkelhebels:

Seitdem wurden eine Reihe von Arbeiten veröffentlicht, die Laues Lösung weiterentwickelten bzw. modifizierten, und für verschiedene Probleme „versteckte“ Impulse („hidden momentum“) einführten.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Nickerson/McAdory (1975), Singal (1993), Teukolsky (1996), Jefimenko (1999), Jackson (2004).</ref>

Reformulierungen von Kraft und Impuls

Andere Autoren waren unzufrieden mit der Idee von bezugssystemabhängigen Drehmomenten. Wenn im Ruhesystem des Objekts kein Drehmoment auftritt, sollte dies auch in allen anderen Inertialsystemen nicht der Fall sein. Deshalb wurde versucht, die Standardausdrücke für Impuls und Kraft mit solchen zu ersetzen, die von vornherein manifest Lorentzkovariant waren.<ref>Siehe „Literatur“, besonders Butler (1968), Aranoff (1969, 1972), Grøn (1975), Janssen (1995, 2008), Ivezić (2006).</ref> Diese Methode ist analog zur Lösung des 4/3-Problem der elektromagnetischen Masse von Elektronen gemäß Enrico Fermi (1922) und Fritz Rohrlich (1960). Entgegen der Standardmethode, wo Kräfte und Impulse auf die Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des jeweiligen Beobachters bezogen werden, sollen in der Fermi-Rohrlich-Definition lediglich Gleichzeitigkeits-Hyperebenen des Ruhesystems des Objekts benutzt werden. Laut Jannsen beruht der Unterschied zwischen Laues Standardlösung und solchen alternativen Formulierungen also nur auf unterschiedlichen Konventionen zur Wahl der Gleichzeitigkeits-Hyperebene.<ref>Janssen (2008), siehe „Literatur“</ref>

Analog dazu unterschied Rohrlich (1967) zwischen „scheinbaren“ und „wahren“ Lorentz-Transformationen. Die direkte Anwendung der Lorentz-Transformation, wo die nicht-gleichzeitigen Positionen der Endpunkte einer Strecke in einem bewegten System ermittelt wird, wäre eine „wahre“ Transformation. Die Lorentzkontraktion wäre hingegen das Resultat einer scheinbaren Transformation, da neben der Lorentz-Transformation noch zusätzlich die gleichzeitigen Positionen der Endpunkte berechnet werden müssen. Zusätzliche sprachen Cavalleri/Salgarelli (1969) von „synchroner“ versus „asynchroner“ Formulierung von statischem Gleichgewicht. Ihrer Meinung nach sollten Kräfte und Impulse nur im Ruhesystem des Objekts synchron betrachtet werden, im bewegten System jedoch asynchron.<ref>Rohrlich (1967), Cavalleri/Salgarelli (1969)</ref>

Kraft und Beschleunigung

Vorlage:Externes Bild Hierzu ein Beispiel: Es sei ein Stab mit Endpunkten OM gegeben. Dieser ist am Punkt O befestigt, wobei ein Körper mit der Masse m bei M befestigt ist. Der Stab schließt den Winkel <math>\tan\alpha'\!</math> mit der y'Achse ein. Nun wirkt bei M eine Kraft <math>f'</math> in Richtung OM, wobei Gleichgewicht im Ruhesystem des Stabs dann herrscht, wenn <math>\tfrac{f'_{x}}{f'_{y}}=\tan\alpha'</math>.

In einem relativ dazu bewegten System gilt, wie bereits oben erwähnt:

<math>f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},\ \tan\alpha=\tan\alpha'\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>

Also <math>\frac{f_{x}}{f_{y}}=\frac{\tan\alpha}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>.

Im bewegten System zeigt die resultierende Kraft also nicht direkt von O zu M. Dies führt jedoch nicht zu einer Rotation, denn die Beschleunigungen sind nicht parallel zu den verursachenden Kräften. Die relativistischen Ausdrücke für den Zusammenhang von Masse, Beschleunigung und Kraft sind in longitudinaler und transversaler Richtung:

<math>a_{x}=\frac{f_{x}}{m\gamma^{3}},\ a_{y}=\frac{f_{y}}{m\gamma}</math>, wo <math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>.

Also <math>\frac{a_{x}}{a_{y}}=\tan\alpha</math>.

Folglich tritt auch in diesem System keine Rotation auf. Ähnliche Überlegungen gelten auch für das Trouton-Noble- und das Winkelhebelparadoxon. Die Paradoxien sind damit also aufgelöst, weil die beiden Beschleunigungen (als Vektoren) zum Schwerpunkt des Systems (Kondensator bei Trouton-Noble) zeigen, obwohl die Kräfte dies nicht tun.

Epstein fügte hinzu, dass, wenn man es befriedigender findet, auch in der Relativitätstheorie die Proportionalität zwischen Kraft und Beschleunigung wiederherzustellen (wie in der gewohnten Newtonschen Mechanik), Kompensationskräfte eingeführt werden müssen, welche formal mit Laues Strom übereinstimmen. Epstein entwickelte einen solchen Formalismus in den weiteren Abschnitten seiner Arbeit von 1911.

Siehe auch

Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

Literatur

Übersicht

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Textbücher

R. C. Tolman: The theory of relativity of motion. In: Semicentennial publications of the University of California, 1868–1918. University of California press, Berkeley 1917, The Right-Angled Lever, S. 152–153 (archive.org).
Wolfgang Pauli: Die Relativitätstheorie. In: Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Band 5, Nr. 2, 1921, Anwendung auf spezielle Fälle. Versuch von Trouton-Noble, S. 685–689 (uni-goettingen.de).
Wolfgang Panofsky, Melba Phillips: Classical electricity and magnetism. Dover, Mineola 2005, ISBN 0-486-43924-0, S. 274, 349 (Erstausgabe: 1962).
John D. Jackson: Classical Electrodynamics. 3rd. Wiley, 1998, ISBN 0-471-30932-X.