Umfang (Geometrie)
U = d·π (hier ist d = 1)
U = 2·a + 2·b = 2·(a + b)
Der Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet die Länge ihrer Begrenzungslinie.
Die Formel für den Kreisumfang lautet:
- <math> U = \pi \, d = 2 \pi r </math>
- <math>U</math> steht dabei für den Umfang,
- <math>r</math> für den Radius des Kreises,
- <math>\pi</math> für die Kreiszahl mit dem Wert 3,14159265… und
- <math>d</math> für den Kreisdurchmesser.
Der Umfang eines Vielecks ist die Summe seiner Seitenlängen.
(Zeichnung mit <math>a=1</math>)
<math>x(t) = 2 a \cos(t) (1 + \cos(t))</math>
<math>y(t) = 2 a \sin(t) (1 + \cos (t))</math>
<math>U = \int\limits_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm dt=16a</math>
Wird die Begrenzungslinie der Figur durch eine geschlossene stückweise glatte Parameterkurve <math> \gamma\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> beschrieben mit
- <math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}</math>,
so lässt sich ihr Umfang <math>U</math> über das folgende Integral berechnen:
- <math>U = \int\limits_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm dt</math>. (siehe Länge (Mathematik))
Literatur
- Karl Barth: Die technischen Hilfswissenschaften: Mathematik, Geometrie und Chemie. Oldenbourg, S. 95–96
Weblinks
Wiktionary: Umfang – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
- Eric W. Weisstein: Perimeter. In: MathWorld (englisch).
- Umfang und Flächen elementarer Figuren