Variationskoeffizient
Der Variationskoeffizient (auch: Abweichungskoeffizient) ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, das heißt, er hängt nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable bzw. Zufallsvariablen ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleichen.<ref>Joachim Hartung: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 7. durchges. Auflage. Oldenbourg, 1989, ISBN 3-486-21448-9, S. 47.</ref>
Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.
Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.
Der Variationskoeffizient wird manchmal auch mit <math>\operatorname{Vco}</math> oder <math>\operatorname{CV}</math> abgekürzt.
Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable
Definition
Der Variationskoeffizient <math>\operatorname{VarK}</math> für eine Zufallsvariable <math>X</math> mit Erwartungswert <math>\operatorname{E}(X) \neq 0</math> ist definiert als die relative Standardabweichung, das heißt die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert der Zufallsvariablen, in Formeln
- <math>
\operatorname{VarK}(X) = \frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Erwartungswert}(X)} = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)} </math>.
Der Variationskoeffizient wird häufig in Prozent angegeben.
Beispiel
Die reelle Zufallsvariable <math>X</math> sei standardnormalverteilt, das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von <math>X</math> haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable <math>X+1000</math> hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von <math>1/1000 = 0,\!001</math>.
Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable
Die Varianz der Zufallsgröße <math>X/\operatorname{E}(X)</math> wird als quadrierter Variationskoeffizient <math>\operatorname{SCV}</math> bzw. <math>c^2_X</math> bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe <math>X</math> gemessen wird.
- <math> \operatorname{SCV} = c^2_X = \operatorname{Var}\left(\frac{X}{\operatorname{E}(X)}\right)
= \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2}
= \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} - 1</math>
Empirische Variationskoeffizienten
Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten <math>x_1,\dots,x_n</math> vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung <math>s</math> und arithmetischem Mittel <math>\bar{x}</math>:
- <math>v=\frac{s}{\bar{x}},\; \bar{x} > 0</math>.
Gilt <math>x_i\geq 0</math>, so kann ein normierter Variationskoeffizient definiert werden als
- <math>v^*=\frac{v}{\sqrt{n}}</math>,
für den gilt <math>0\leq v^* \leq 1</math>.<ref>Wolfgang Kohn: Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-21677-3, S. 81.</ref>
Wird die empirische Standardabweichung stattdessen nicht aus der korrigierten Stichprobenvarianz berechnet (also <math>\tilde{s}</math> statt <math>s</math> verwendet), dann ist statt <math>\sqrt{n}</math> im Nenner von <math>v^*</math> der Wert <math>\sqrt{n-1}</math> zu verwenden.
Alternativen
Empirischer Variationskoeffizient zweiter Ordnung
Der Variationskoeffizient zweiter Ordnung ist definiert als<ref>T. O. Kvålseth: Coefficient of variation: the second-order alternative. In: Journal of Applied Statistics. Band 44, Nr. 3, 2016, S. 402–415, doi:10.1080/02664763.2016.1174195.</ref>
- <math> V_2 = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\hat{\sigma}^2 + \hat{\mu}^2}} </math>.
Dieser Kennwert ist zwischen 0 (keine Varianz) und 1 (maximale relative Varianz, d. h. <math>\hat{\sigma} \gg \hat{\mu}</math>) beschränkt.
Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten
- <math>v_r=\frac{x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}{x_{0{,}5}}</math>,
also der Interquartilsabstand dividiert durch den Median.
Weblinks
Einzelnachweise
<references />